Математический анализ Примеры

$\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{16 x^{2} - 9}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{16 x^{2} - 9}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(16 x^{2} - 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $16 x^{2} - 9$ на $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $16 x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $16$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.7

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x + 0)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.8.1

Добавим $32 x$ и $0$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - x (32 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.3.8.2

Умножим $32$ на $- 1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x \cdot x}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 (x^{1} x^{1})}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{1 + 1}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \frac{16 x^{2} - 9 - 32 x^{2}}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $32 x^{2}$ из $16 x^{2}$ .

$2 \frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $2$ и $\frac{- 16 x^{2} - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 16 x^{2} - 9)}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 16 x^{2}) + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 16$ на $2$ .

$\frac{- 32 x^{2} + 2 \cdot - 9}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 32 x^{2} - 18}{{(16 x^{2} - 9)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(16 x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [- 32 x^{2} - 18] - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $- 32 x^{2} - 18$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{2}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $- 32$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + \frac{d}{d x} [- 18]) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x + 0) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.2.7

Добавим $- 64 x$ и $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) \frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9)}^{2}]}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 16 x^{2} - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 u \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - (- 32 x^{2} - 18) (2 (16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9])}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.2

По правилу суммы производная $16 x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x^{2}$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + \frac{d}{d x} [- 9]))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x + 0))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Добавим $32 x$ и $0$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) (32 x))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.7.2

Перенесем $32$ влево от $16 x^{2} - 9$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 2 (- 32 x^{2} - 18) (32 \cdot (16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.4.7.3

Умножим $32$ на $- 2$ .

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) - 64 (- 32 x^{2} - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) ((16 x^{2} - 9) x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(16 x^{2} - 9)}^{2} (- 64 x) + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 64 {(16 x^{2} - 9)}^{2} x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.2

Перепишем ${(16 x^{2} - 9)}^{2}$ в виде $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ .

$\frac{- 64 ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3

Развернем $(16 x^{2} - 9) (16 x^{2} - 9)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2} - 9) - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2} - 9)) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 64 (16 x^{2} (16 x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2} x^{2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 (x^{2} x^{2}) + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{2 + 2} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- 64 (16 \cdot 16 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.3

Умножим $16$ на $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} + 16 x^{2} \cdot - 9 - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.4

Умножим $- 9$ на $16$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 9 (16 x^{2}) - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.5

Умножим $16$ на $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} - 9 \cdot - 9) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.6

Умножим $- 9$ на $- 9$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 144 x^{2} - 144 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.2

Вычтем $144 x^{2}$ из $- 144 x^{2}$ .

$\frac{- 64 (256 x^{4} - 288 x^{2} + 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 64 (256 x^{4}) - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.6.1

Умножим $256$ на $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} - 64 (- 288 x^{2}) - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.6.2

Умножим $- 288$ на $- 64$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 64 \cdot 81) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.6.3

Умножим $- 64$ на $81$ .

$\frac{(- 16384 x^{4} + 18432 x^{2} - 5184) x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 16384 x^{4} x + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 16384 (x \cdot x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 16384 (x^{1} x^{4}) + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 16384 x^{1 + 4} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{2} x - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x \cdot x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 (x^{1} x^{2}) - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{1 + 2} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (- 64 (- 32 x^{2}) - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.9.1

Умножим $- 32$ на $- 64$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} - 64 \cdot - 18) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.9.2

Умножим $- 64$ на $- 18$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{2} x - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.10.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x \cdot x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 (x^{1} x^{2}) - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{1 + 2} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + (2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11

Развернем $(2048 x^{2} + 1152) (16 x^{3} - 9 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3} - 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3} - 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 x^{2} (16 x^{3}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{2} x^{3} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 (x^{3} x^{2}) + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{3 + 2} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 2048 \cdot 16 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3

Умножим $2048$ на $16$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 x^{2} (- 9 x) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{2} x + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x \cdot x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 (x^{1} x^{2}) + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{1 + 2} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.5.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 2048 \cdot - 9 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.6

Умножим $2048$ на $- 9$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 1152 (16 x^{3}) + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.7

Умножим $16$ на $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} + 1152 (- 9 x)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.8

Умножим $- 9$ на $1152$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 18432 x^{3} + 18432 x^{3} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.2

Добавим $- 18432 x^{3}$ и $18432 x^{3}$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} + 0 - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.3

Добавим $32768 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{- 16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x + 32768 x^{5} - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $- 16384 x^{5}$ и $32768 x^{5}$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 5184 x - 10368 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.3.3

Вычтем $10368 x$ из $- 5184 x$ .

$\frac{16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель $64 x$ из $16384 x^{5} + 18432 x^{3} - 15552 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Вынесем множитель $64 x$ из $16384 x^{5}$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 18432 x^{3} - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.2

Вынесем множитель $64 x$ из $18432 x^{3}$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) - 15552 x}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.3

Вынесем множитель $64 x$ из $- 15552 x$ .

$\frac{64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.4

Вынесем множитель $64 x$ из $64 x (256 x^{4}) + 64 x (288 x^{2})$ .

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.5

Вынесем множитель $64 x$ из $64 x (256 x^{4} + 288 x^{2}) + 64 x (- 243)$ .

$\frac{64 x (256 x^{4} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{64 x (256 {(x^{2})}^{2} + 288 x^{2} - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 256 \cdot - 243 = - 62208$ , а сумма — $b = 288$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1.1

Вынесем множитель $288$ из $288 u$ .

$\frac{64 x (256 u^{2} + 288 (u) - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4.1.2

Запишем $288$ как $- 144$ плюс $432$

$\frac{64 x (256 u^{2} + (- 144 + 432) u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{64 x (256 u^{2} - 144 u + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{64 x ((256 u^{2} - 144 u) + 432 u - 243)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{64 x (16 u (16 u - 9) + 27 (16 u - 9))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $16 u - 9$ .

$\frac{64 x ((16 u - 9) (16 u + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{64 x ((16 x^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.6

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 9) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.7

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{64 x (({(4 x)}^{2} - 3^{2}) (16 x^{2} + 27))}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.4.8

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 4 x$ и $b = 3$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(16 x^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Перепишем $16 x^{2}$ в виде ${(4 x)}^{2}$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 9)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{({(4 x)}^{2} - 3^{2})}^{4}}$

Этап 2.5.5.3

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{((4 x + 3) (4 x - 3))}^{4}}$

Этап 2.5.5.4

Применим правило умножения к $(4 x + 3) (4 x - 3)$ .

$\frac{64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Этап 2.5.6

Сократим общий множитель $4 x + 3$ и ${(4 x + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Вынесем множитель $4 x + 3$ из $64 x (4 x + 3) (4 x - 3) (16 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}}$

Этап 2.5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.2.1

Вынесем множитель $4 x + 3$ из ${(4 x + 3)}^{4} {(4 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Этап 2.5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x + 3) ((64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27))}{(4 x + 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4})}$

Этап 2.5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Этап 2.5.7

Сократим общий множитель $4 x - 3$ и ${(4 x - 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Вынесем множитель $4 x - 3$ из $(64 x (4 x - 3)) (16 x^{2} + 27)$ .

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}}$

Этап 2.5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.2.1

Вынесем множитель $4 x - 3$ из ${(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{4}$ .

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Этап 2.5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(4 x - 3) ((64 x) (16 x^{2} + 27))}{(4 x - 3) ({(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3})}$

Этап 2.5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(64 x) (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{64 x (16 x^{2} + 27)}{{(4 x + 3)}^{3} {(4 x - 3)}^{3}}$