Математический анализ Примеры

$5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

Этап 1

Запишем $5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$ в виде функции.

$f (x) = 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \sqrt{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Этап 5

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$5 (\tan (x) + C) + \int - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x} d x$

Этап 7

Поскольку $- \frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} \int \sqrt{x} d x$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (\tan (x) + C) - \frac{3}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$5 \tan (x) - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{3}{2}$ .

$5 \tan (x) - \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$5 \tan (x) - \frac{6}{3 \cdot 2} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.3

Умножим $3$ на $2$ .

$5 \tan (x) - \frac{6}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.4.1

Сократим общий множитель.

$5 \tan (x) - \frac{6}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.4.2

Перепишем это выражение.

$5 \tan (x) - 1 \cdot 1 x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 10.2.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 \tan (x) - x^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 \sec^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $5 \tan (x) - x^{\frac{3}{2}} + C$