Математический анализ Примеры

$(8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Этап 1

Запишем $(8 x^{3}) e^{x^{4}}$ в виде функции.

$f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int (8 x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Этап 4

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int (x^{3}) e^{x^{4}} d x$

Этап 5

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$8 \int u_{1} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int u_{1} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$8 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u_{1}$ .

$8 \int \frac{u_{1}}{2} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 6.3

Объединим $\frac{u_{1}}{2}$ и $e^{{u_{1}}^{2}}$ .

$8 \int \frac{u_{1} e^{{u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\frac{8}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 8.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \int u_{1} e^{{u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Этап 9

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 9.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$4 \int e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 10

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\frac{4}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 12.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$2 (e^{u_{2}} + C)$

Этап 14

Упростим.

$2 e^{u_{2}} + C$

Этап 15

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{2}$ .

$2 e^{{u_{1}}^{2}} + C$

Этап 15.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$

Этап 16

Ответ ― первообразная функции $f (x) = (8 x^{3}) e^{x^{4}}$ .

$F (x) =$ $2 e^{{(x^{2})}^{2}} + C$