Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 15 x - 8}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{15 x - 8} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Этап 3.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Этап 3.4

Умножим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x - 8]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $15 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{\frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.6.3

Умножим $15$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Этап 3.7

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15 + 0}$

Этап 3.8

Добавим $15$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6}{15}$

Этап 4

Сократим общий множитель $6$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (2)}{15}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 5}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{5}$

Этап 5

Найдем предел $\frac{2}{5}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{2}{5}$