Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Этап 1.2

Поскольку функция $e^{x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $3$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $3$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Этап 1.2.2

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + 2 e^{5 x}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Этап 1.3.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} 2 e^{5 x}}$

Этап 1.3.2

Поскольку функция $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$\frac{\infty}{9 + lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Этап 1.3.2.2

Поскольку показатель степени $5 x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{9 + \infty}$

Этап 1.3.3

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.3.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{9 + 2 e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9 + 2 e^{5 x}]}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $9 + 2 e^{5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Этап 3.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{5 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 \frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])}$

Этап 3.6.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Этап 3.6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])}$

Этап 3.6.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))}$

Этап 3.6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} (5 \cdot 1))}$

Этап 3.6.5

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (e^{5 x} \cdot 5)}$

Этап 3.6.6

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 2 (5 e^{5 x})}$

Этап 3.6.7

Умножим $5$ на $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{0 + 10 e^{5 x}}$

Этап 3.7

Добавим $0$ и $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{x}}{10 e^{5 x}}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $e^{5 x}$ из $3 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{10 e^{5 x}}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $e^{5 x}$ из $10 e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x} (3 e^{- 4 x})}{e^{5 x} \cdot 10}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{- 4 x}}{10}$

Этап 4.2

Вынесем член $\frac{3}{10}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{3}{10} lim_{x \to \infty} e^{- 4 x}$

Этап 5

Поскольку показатель степени $- 4 x$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- 4 x}$ стремится к $0$ .

$\frac{3}{10} \cdot 0$

Этап 6

Умножим $\frac{3}{10}$ на $0$ .

$0$