Математический анализ Примеры

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{5 t - t^{2}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{t} + t^{2}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рационализируем числитель с помощью умножения.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{(\sqrt{t} + t^{2}) (\sqrt{t} - t^{2})}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Развернем числитель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{\sqrt{t}}^{2} + \sqrt{t} (- t^{2}) + \sqrt{t} t^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Перепишем ${\sqrt{t}}^{2}$ в виде $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{{(t^{\frac{1}{2}})}^{2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{1}{2} \cdot 2} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{\frac{2}{2}} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t^{1} + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2.1.5

Упростим.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t + t^{4} \cdot - 1}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - 1 \cdot t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.2.2.3

Перепишем $- 1 t^{4}$ в виде $- t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{t - t^{4}}{\sqrt{t} - t^{2}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.3

Разделим числитель и знаменатель на $t$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $t^{2} = \sqrt{t^{4}}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Сократим общий множитель $t$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^{1}}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t^{2}} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1.3.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{4}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.2

Сократим общий множитель $t^{4}$ и $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2}}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.2.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2} t^{2}}{t^{2} \cdot 1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - \frac{t^{2}}{1}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.1.2.2.4

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Упростим каждый член.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.3

Сократим общий множитель $t$ и $t^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.3.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{1}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.3.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.3.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{4}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.4.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{t} - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.5

Когда $t$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{1}{t}$ стремится к $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.6

Когда $t$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{1}{t^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.2.7

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{0 - t^{2}}{\sqrt{0} - 1}$ стремится к бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} 5 t - t^{2}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок $5 t$ и $- t^{2}$ .

$\frac{\infty}{lim_{t \to \infty} - t^{2} + 5 t}$

Этап 1.3.2

Для многочлена, старший коэффициент которого отрицателен, предел в бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{5 t - t^{2}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t} + t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sqrt{t} + t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sqrt{t}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 2 t}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [5 t - t^{2}]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $5 t - t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Этап 3.7.3

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{5 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{5 - \frac{d}{d t} [t^{2}]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{5 - (2 t)}$

Этап 3.8.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{5 - 2 t}$

Этап 3.9

Изменим порядок членов.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{- 2 t + 5}$

Этап 4

Перепишем $t^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 5}$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $2 t$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t \cdot \frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 5}$

Этап 5.2

Объединим $2 t$ и $\frac{2 \sqrt{t}}{2 \sqrt{t}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t})}{2 \sqrt{t}} + \frac{1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 5}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 t (2 \sqrt{t}) + 1}{2 \sqrt{t}}}{- 2 t + 5}$