Математический анализ Примеры

$y = (x - 5) (x + 3) (x + 4)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = (x - 5) (x + 3)$ и $g (x) = x + 4$ .

$(x - 5) (x + 3) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 5) (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Этап 1.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 5) (x + 3) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 5) (x + 3) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Этап 1.2.4.2

Умножим $x - 5$ на $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) \frac{d}{d x} [(x - 5) (x + 3)]$

Этап 1.3

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) ((x - 5) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.4.4.2

Умножим $x - 5$ на $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5])$

Этап 1.4.5

По правилу суммы производная $x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 1.4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]))$

Этап 1.4.7

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) (1 + 0))$

Этап 1.4.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + (x + 3) \cdot 1)$

Этап 1.4.8.2

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (x - 5 + x + 3)$

Этап 1.4.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 5 + 3)$

Этап 1.4.8.4

Добавим $- 5$ и $3$ .

$(x - 5) (x + 3) + (x + 4) (2 x - 2)$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 5) x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 5 x + (x - 5) \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x - 2)$

Этап 1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + (x + 4) (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Этап 1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + (x + 4) \cdot - 2$

Этап 1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.7.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} - 5 x + x \cdot 3 - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$x^{2} - 5 x + 3 \cdot x - 5 \cdot 3 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.6

Умножим $- 5$ на $3$ .

$x^{2} - 5 x + 3 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.7

Добавим $- 5 x$ и $3 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + x (2 x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 (x^{1} x^{1}) + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{1 + 1} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.11

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 4 (2 x) + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.12

Умножим $2$ на $4$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x + x \cdot - 2 + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.13

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 \cdot x + 4 \cdot - 2$

Этап 1.5.7.14

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 8 x - 2 x - 8$

Этап 1.5.7.15

Вычтем $2 x$ из $8 x$ .

$x^{2} - 2 x - 15 + 2 x^{2} + 6 x - 8$

Этап 1.5.7.16

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 x - 15 + 6 x - 8$

Этап 1.5.7.17

Добавим $- 2 x$ и $6 x$ .

$3 x^{2} + 4 x - 15 - 8$

Этап 1.5.7.18

Вычтем $8$ из $- 15$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 23$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 4 x - 23$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 23]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 23]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 23$ является константой относительно $x$ , производная $- 23$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x + 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $6 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $6$ и $0$ .

$f''' (x) = 6$

Этап 4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f^{4} (x) = 0$