Математический анализ Примеры

$s = \frac{t^{9} + 2 t + 4}{t^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{9} + 2 t + 4$ и $g (t) = t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Этап 1.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [t^{9} + 2 t + 4] - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.2

По правилу суммы производная $t^{9} + 2 t + 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + \frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 + \frac{d}{d t} [4]) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2 + 0) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.8

Добавим $9 t^{8} + 2$ и $0$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - (t^{9} + 2 t + 4) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - (t^{9} + 2 t + 4) (2 t)}{t^{4}}$

Этап 1.2.10

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{t^{2} (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t}{t^{4}}$

Этап 1.2.10.2

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} (9 t^{8} + 2)$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2)) - 2 (t^{9} + 2 t + 4) t}{t^{4}}$

Этап 1.2.10.2.2

Вынесем множитель $t$ из $- 2 (t^{9} + 2 t + 4) t$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2)) + t (- 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t^{4}}$

Этап 1.2.10.2.3

Вынесем множитель $t$ из $t (t (9 t^{8} + 2)) + t (- 2 (t^{9} + 2 t + 4))$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t^{4}}$

Этап 1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{4}$ .

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t \cdot t^{3}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t (t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4))}{t \cdot t^{3}}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t (9 t^{8} + 2) - 2 (t^{9} + 2 t + 4)}{t^{3}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t (9 t^{8}) + t \cdot 2 - 2 (t^{9} + 2 t + 4)}{t^{3}}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t (9 t^{8}) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{9 t \cdot t^{8} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.1.2

Умножим $t$ на $t^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.1

Перенесем $t^{8}$ .

$\frac{9 (t^{8} t) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.1.2.2

Умножим $t^{8}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{9 (t^{8} t^{1}) + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9 t^{8 + 1} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.1.2.3

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{9 t^{9} + t \cdot 2 - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$\frac{9 t^{9} + 2 \cdot t - 2 t^{9} - 2 (2 t) - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.1.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{9 t^{9} + 2 t - 2 t^{9} - 4 t - 2 \cdot 4}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.1.5

Умножим $- 2$ на $4$ .

$\frac{9 t^{9} + 2 t - 2 t^{9} - 4 t - 8}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.2

Вычтем $2 t^{9}$ из $9 t^{9}$ .

$\frac{7 t^{9} + 2 t - 4 t - 8}{t^{3}}$

Этап 1.4.3.3

Вычтем $4 t$ из $2 t$ .

$f' (t) = \frac{7 t^{9} - 2 t - 8}{t^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${(t^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [7 t^{9} - 2 t - 8] - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $7 t^{9} - 2 t - 8$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [7 t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [7 t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7 t^{9}$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ .

$\frac{t^{3} (7 \frac{d}{d t} [t^{9}] + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{t^{3} (7 (9 t^{8}) + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.5

Умножим $9$ на $7$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} + \frac{d}{d t} [- 2 t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 + \frac{d}{d t} [- 8]) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.9

Поскольку $- 8$ является константой относительно $t$ , производная $- 8$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2 + 0) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.10

Добавим $63 t^{8} - 2$ и $0$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - (7 t^{9} - 2 t - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Этап 2.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - (7 t^{9} - 2 t - 8) (3 t^{2})}{t^{6}}$

Этап 2.2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{t^{3} (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Этап 2.2.12.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{3} (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.2.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{3} (63 t^{8} - 2)$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Этап 2.2.12.2.2

Вынесем множитель $t^{2}$ из $- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8) t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) + t^{2} (- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{6}}$

Этап 2.2.12.2.3

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{2} (t (63 t^{8} - 2)) + t^{2} (- 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{6}}$

Этап 2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $t^{2}$ из $t^{6}$ .

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} (t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Этап 2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{t (63 t^{8} - 2) - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8)}{t^{4}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t (63 t^{8}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9} - 2 t - 8)}{t^{4}}$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t (63 t^{8}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{63 t \cdot t^{8} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.2

Умножим $t$ на $t^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Перенесем $t^{8}$ .

$\frac{63 (t^{8} t) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.2.2

Умножим $t^{8}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{63 (t^{8} t^{1}) + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{63 t^{8 + 1} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.2.3

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{63 t^{9} + t \cdot - 2 - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $t$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 \cdot t - 3 (7 t^{9}) - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.4

Умножим $7$ на $- 3$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} - 3 (- 2 t) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} + 6 t - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.1.6

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$\frac{63 t^{9} - 2 t - 21 t^{9} + 6 t + 24}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.2

Вычтем $21 t^{9}$ из $63 t^{9}$ .

$\frac{42 t^{9} - 2 t + 6 t + 24}{t^{4}}$

Этап 2.4.3.3

Добавим $- 2 t$ и $6 t$ .

$\frac{42 t^{9} + 4 t + 24}{t^{4}}$

Этап 2.4.4

Вынесем множитель $2$ из $42 t^{9} + 4 t + 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $42 t^{9}$ .

$\frac{2 (21 t^{9}) + 4 t + 24}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4 t$ .

$\frac{2 (21 t^{9}) + 2 (2 t) + 24}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.3

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\frac{2 (21 t^{9}) + 2 (2 t) + 2 (12)}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (21 t^{9}) + 2 (2 t)$ .

$\frac{2 (21 t^{9} + 2 t) + 2 (12)}{t^{4}}$

Этап 2.4.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (21 t^{9} + 2 t) + 2 (12)$ .

$f'' (t) = \frac{2 (21 t^{9} + 2 t + 12)}{t^{4}}$