Математический анализ Примеры

$y = 7 \tan (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \tan (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 7 \sec^{2} (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \sec^{2} (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$7 (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $7$ .

$14 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$14 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 2.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$14 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 2.6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$14 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$14 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 14 \sec^{2} (x) \tan (x)$