Математический анализ Примеры

$h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $H (z)$ , найдем неопределенный интеграл производной $h (z)$ .

$H (z) = \int h (z) d z$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$H (z) = \int \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z} d z$

Этап 3

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разложим дробь на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 z^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 z^{2}$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2}{2 z^{3} + z}$

Этап 3.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (4 z^{2}) + 2 (1)}{2 z^{3} + z}$

Этап 3.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 z^{2}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{2 z^{3} + z}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем множитель $z$ из $2 z^{3} + z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Вынесем множитель $z$ из $2 z^{3}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z}$

Этап 3.1.1.2.2

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z^{1}}$

Этап 3.1.1.2.3

Вынесем множитель $z$ из $z^{1}$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2}) + z \cdot 1}$

Этап 3.1.1.2.4

Вынесем множитель $z$ из $z (2 z^{2}) + z \cdot 1$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1)}{z (2 z^{2} + 1)}$

Этап 3.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $z (2 z^{2} + 1)$ .

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.4

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (z (2 z^{2} + 1))}{z (2 z^{2} + 1)} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.5

Сократим общий множитель $2 z^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 z^{2} + 1) (2 z^{2} + 1)}{2 z^{2} + 1} = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.5.2

Разделим $2 (4 z^{2} + 1)$ на $1$ .

$2 (4 z^{2} + 1) = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (4 z^{2}) + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Умножим $4$ на $2$ .

$8 z^{2} + 2 \cdot 1 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Сократим общий множитель $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1.1

Сократим общий множитель.

$8 z^{2} + 2 = \frac{A (z (2 z^{2} + 1))}{z} + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.8.1.2

Разделим $A (2 z^{2} + 1)$ на $1$ .

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2} + 1) + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$8 z^{2} + 2 = A (2 z^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.8.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.8.4

Умножим $A$ на $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.8.5

Сократим общий множитель $2 z^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.5.1

Сократим общий множитель.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + \frac{(B z + C) (z (2 z^{2} + 1))}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.1.8.5.2

Разделим $(B z + C) (z)$ на $1$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + (B z + C) (z)$

Этап 3.1.8.6

Применим свойство дистрибутивности.

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z \cdot z + C z$

Этап 3.1.8.7

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.7.1

Перенесем $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B (z \cdot z) + C z$

Этап 3.1.8.7.2

Умножим $z$ на $z$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 A z^{2} + A + B z^{2} + C z$

Этап 3.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.9.1

Перенесем $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Этап 3.1.9.2

Изменим порядок $B$ и $z^{2}$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + A + B z^{2} + C z$

Этап 3.1.9.3

Перенесем $A$ .

$8 z^{2} + 2 = 2 z^{2} A + B z^{2} + C z + A$

Этап 3.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $z^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$8 = 2 A + B$

Этап 3.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $z$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = C$

Этап 3.2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $z$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$2 = A$

Этап 3.2.4

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

$8 = 2 A + B$

$0 = C$

$2 = A$

Этап 3.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

$2 = A$

Этап 3.3.2

Перепишем уравнение в виде $A = 2$ .

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 2 A + B$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $A$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Заменим все вхождения $A$ в $8 = 2 A + B$ на $2$ .

$8 = 2 (2) + B$

$A = 2$

$C = 0$

Этап 3.3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

$8 = 4 + B$

$A = 2$

$C = 0$

Этап 3.3.4

Решим относительно $B$ в $8 = 4 + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $4 + B = 8$ .

$4 + B = 8$

$A = 2$

$C = 0$

Этап 3.3.4.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$B = 8 - 4$

$A = 2$

$C = 0$

Этап 3.3.4.2.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

$B = 4$

$A = 2$

$C = 0$

Этап 3.3.5

Решим систему уравнений.

$B = 4 A = 2 C = 0$

Этап 3.3.6

Перечислим все решения.

$B = 4, A = 2, C = 0$

Этап 3.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{z} + \frac{B z + C}{2 z^{2} + 1}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ и $C$ .

$\frac{2}{z} + \frac{4 z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{2}{z} + \frac{(4) \cdot z + 0}{2 z^{2} + 1}$

Этап 3.5.2

Добавим $4 z$ и $0$ .

$\int \frac{2}{z} + \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{z} d z + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{z}$ по $z$ имеет вид $\ln (| z |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{4 z}{2 z^{2} + 1} d z$

Этап 7

Поскольку $4$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{z}{2 z^{2} + 1} d z$

Этап 8

Пусть $u = 2 z^{2} + 1$ . Тогда $d u = 4 z d z$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = z d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = 2 z^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $2 z^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2} + 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $2 z^{2} + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{d}{d z} [2 z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Этап 8.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d z} [2 z^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $z$ , производная $2 z^{2}$ по $z$ равна $2 \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$

Этап 8.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 z) + \frac{d}{d z} [1]$

Этап 8.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 z + \frac{d}{d z} [1]$

Этап 8.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$4 z + 0$

Этап 8.1.4.2

Добавим $4 z$ и $0$ .

$4 z$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{4}$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Этап 9.2

Перенесем $4$ влево от $u$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 \int \frac{1}{4 u} d u$

Этап 10

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$2 (\ln (| z |) + C) + 4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\ln (| z |) + C) + \frac{4}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (\ln (| z |) + C) + 1 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 11.3

Умножим $\int \frac{1}{u} d u$ на $1$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| z |) + C) + \ln (| u |) + C$

Этап 13

Упростим.

$2 \ln (| z |) + \ln (| u |) + C$

Этап 14

Заменим все вхождения $u$ на $2 z^{2} + 1$ .

$2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$

Этап 15

Ответ ― первообразная функции $h (z) = \frac{8 z^{2} + 2}{2 z^{3} + z}$ .

$H (z) =$ $2 \ln (| z |) + \ln (| 2 z^{2} + 1 |) + C$