Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ , $[0, π]$

Этап 1

Если функция $f$ непрерывна на интервале $[a, b]$ и дифференцируема на $(a, b)$ , тогда на интервале $(a, b)$ существует хотя бы одно вещественное число $c$ , такое что $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Теорема о среднем выражает отношение между угловым коэффициентом касательной к кривой при $x = c$ и угловым коэффициентом прямой, проходящей через точки $(a, f (a))$ и $(b, f (b))$ .

Если выражение $f (x)$ непрерывно на $[a, b]$

и если выражение $f (x)$ дифференцируемо на $(a, b)$ ,

тогда существует хотя бы одна точка $c$ на $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Этап 2

Проверим непрерывность $f (x) = 2 \sin (x) + \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2.2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, π]$ .

Функция является непрерывной.

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $2 \sin (x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$2 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 3.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 3.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 3.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 4

Выясним, является ли производная непрерывной на $(0, π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4.2

$f' (x)$ — непрерывное выражение в области $(0, π)$ .

Функция является непрерывной.

Этап 5

Функция является дифференцируемой на $(0, π)$ , поскольку производная является непрерывной на $(0, π)$ .

Функция является дифференцируемой.

Этап 6

$f (x)$ удовлетворяет двум условиям теоремы о среднем. Это непрерывное выражение в области $[0, π]$ , дифференцируемое в области $(0, π)$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[0, π]$ , дифференцируемое в области $(0, π)$ .

Этап 7

Найдем значение $f (a)$ из интервала $[0, π]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 2 \sin (0) + \sin (2 (0))$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 + \sin (2 (0))$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (2 (0))$

Этап 7.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + \sin (0)$

Этап 7.2.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 8

Решим $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ относительно $x$ . $2 \cos (x) + 2 \cos (2 x) = \frac{- (f (π) + f (0))}{- (π + 0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \cos (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим $\frac{(0) - (0)}{(π) - (0)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0 + 0}{π - (0)}$

Этап 8.3.1.1.2

Добавим $0$ и $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π - (0)}$

Этап 8.3.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π + 0}$

Этап 8.3.1.2.2

Добавим $π$ и $0$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = \frac{0}{π}$

Этап 8.3.1.3

Разделим $0$ на $π$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 8.4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Заменим $- 4 \sin^{2} (x)$ на $- 4 (1 - \cos^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 8.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) + 2 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 8.4.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 - 4 (- \cos^{2} (x)) = 0$

Этап 8.4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$2 \cos (x) + 2 - 4 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 8.4.3

Вычтем $4$ из $2$ .

$2 \cos (x) - 2 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

Этап 8.4.4

Упорядочим многочлен.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 = 0$

Этап 8.4.5

Подставим $u$ вместо $\cos (x)$ .

$4 {(u)}^{2} + 2 (u) - 2 = 0$

Этап 8.4.6

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $4 u^{2} + 2 u - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 u^{2}$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Этап 8.4.6.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 u$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u - 2 = 0$

Этап 8.4.6.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 (- 1) = 0$

Этап 8.4.6.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 u^{2}) + 2 u$ .

$2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1) = 0$

Этап 8.4.6.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 u^{2} + u) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Этап 8.4.6.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ , а сумма — $b = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.2.1.1.1

Умножим на $1$ .

$2 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Этап 8.4.6.2.1.1.2

Запишем $1$ как $- 1$ плюс $2$

$2 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Этап 8.4.6.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 8.4.6.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.6.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Этап 8.4.6.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Этап 8.4.6.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Этап 8.4.6.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Этап 8.4.7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Этап 8.4.8

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.8.1

Приравняем $2 u - 1$ к $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Этап 8.4.8.2

Решим $2 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 u = 1$

Этап 8.4.8.2.2

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.8.2.2.1

Разделим каждый член $2 u = 1$ на $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 8.4.8.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.8.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.8.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 8.4.8.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Этап 8.4.9

Приравняем $u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.9.1

Приравняем $u + 1$ к $0$ .

$u + 1 = 0$

Этап 8.4.9.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$u = - 1$

Этап 8.4.10

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 8.4.11

Подставим $\cos (x)$ вместо $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Этап 8.4.12

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Этап 8.4.13

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.13.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 8.4.13.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.13.2.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 8.4.13.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 8.4.13.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.13.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.4.13.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.13.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 8.4.13.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 8.4.13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.13.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 8.4.13.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 8.4.13.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.13.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.4.13.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.4.13.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4.13.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.4.13.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.4.14

Решим относительно $x$ в $\cos (x) = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.14.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- 1)$

Этап 8.4.14.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.14.2.1

Точное значение $\arccos (- 1)$ : $π$ .

$x = π$

Этап 8.4.14.3

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π - π$

Этап 8.4.14.4

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = π$

Этап 8.4.14.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.14.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.4.14.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 8.4.14.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 8.4.14.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 8.4.14.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.4.15

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8.4.16

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Касательная, параллельная прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = π$ , находится в точке $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ .

Касательная в точке $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ параллельна прямой, которая проходит через конечные точки $a = 0$ и $b = π$ .

Этап 10