Математический анализ Примеры

$f (t) = \frac{\sqrt[3]{t}}{t - 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = \sqrt[3]{t}$ и $g (t) = t - 3$ .

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [\sqrt[3]{t}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{(t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{3}}] - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{1 - 3}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{\frac{- 2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} t^{- \frac{2}{3}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 3) (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 8.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \frac{d}{d t} [t - 3]}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $t - 3$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 11

Поскольку $- 3$ является константой относительно $t$ , производная $- 3$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} (1 + 0)}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 12

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(t - 3) \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t}{3 t^{\frac{2}{3}}} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.2

Перенесем $t^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.3

Умножим $t$ на $t^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Умножим $t$ на $t^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 3 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{1}{3 t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.5

Перепишем $- 1 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ в виде $- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t} \cdot 1}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t}}{{(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.2

Объединим.

$\frac{3 (\frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} - \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \frac{t^{\frac{1}{3}}}{3} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + 3 (- \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}) + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - 3 \frac{1}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.6

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} + \frac{- 3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} + 3 (- \sqrt[3]{t})}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.3.8

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{t^{\frac{1}{3}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Чтобы записать $t^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}} - \frac{3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3}} t^{\frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1

Умножим $t^{\frac{1}{3}}$ на $t^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.3.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{1 + 2}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.3.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{3}{3}} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.3.1.4

Разделим $3$ на $3$ .

$\frac{\frac{t^{1} - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.3.2

Упростим $t^{1}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.4

Чтобы записать $- 3 \sqrt[3]{t}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} - 3 \sqrt[3]{t} \cdot \frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.5

Объединим $- 3 \sqrt[3]{t}$ и $\frac{t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} + \frac{- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.1

Умножим $- 3 \sqrt[3]{t} t^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\frac{t - 3 - 3 (t^{\frac{2}{3}} t^{\frac{1}{3}})}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{2 + 1}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{\frac{3}{3}}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t^{1}}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7.2

Упростим.

$\frac{\frac{t - 3 - 3 t}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.4.7.3

Вычтем $3 t$ из $t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.6

Умножим $\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{1}{3 {(t - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{t^{\frac{2}{3}} (3 {(t - 3)}^{2})}$

Этап 13.7

Перенесем $3$ влево от $t^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 2 t - 3}{3 \cdot t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.9

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 t) - 1 (3)$ .

$\frac{- (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.11

Перепишем $- (2 t + 3)$ в виде $- 1 (2 t + 3)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 3)}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$

Этап 13.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 t + 3}{3 t^{\frac{2}{3}} {(t - 3)}^{2}}$