Математический анализ Примеры

$- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Этап 1

Запишем $- \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ в виде функции.

$f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 2.1.1.1.2

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{81}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 2.1.1.1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Этап 2.1.1.1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Этап 2.1.1.1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Этап 2.1.1.1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 81 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ и $g (x) = x + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$- 81 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.6.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 81 (- \frac{1}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.8

Объединим ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- 81 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.9.1

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 81 (- \frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.9.2

Умножим $- 1$ на $- 81$ .

$81 (\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.1.10

Объединим $\frac{1}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ и $81$ .

$\frac{81}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.1.11

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.1.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.12.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 ({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.1.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.1.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.1.13

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.1.1.14

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.1.1.15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Этап 2.1.1.16

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.16.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Этап 2.1.1.16.2

Умножим $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{27}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ по $x$ равна $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}]$

Этап 2.1.2.1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(x + 5)}^{\frac{4}{3}}}$ в виде ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Этап 2.1.2.1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Этап 2.1.2.1.2.2.2

Умножим $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.2.2.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Этап 2.1.2.1.2.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Этап 2.1.2.1.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$27 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- \frac{4}{3}}]$

Этап 2.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 5$ .

$27 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 5$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$27 (- \frac{4}{3} {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.8

Объединим ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ и $\frac{4}{3}$ .

$27 (- \frac{{(x + 5)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.9.1

Перенесем $4$ влево от ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$27 (- \frac{4 \cdot {(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.9.2

Перенесем ${(x + 5)}^{- \frac{7}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 (- \frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.9.3

Умножим $- 1$ на $27$ .

$- 27 (\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5])$

Этап 2.1.2.10

Объединим $\frac{4}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ и $- 27$ .

$\frac{4 \cdot - 27}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2.11

Умножим $4$ на $- 27$ .

$\frac{- 108}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2.12

Вынесем множитель $3$ из $- 108$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 36}{3 ({(x + 5)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 36}{3 {(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 5]$

Этап 2.1.2.15

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.1.2.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 2.1.2.17

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Этап 2.1.2.18

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Этап 2.1.2.18.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 5)}^{\frac{7}{3}}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$36 = 0$

Этап 2.2.3

Поскольку $36 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = - \frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{81}{\sqrt[3]{x + 5}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x + 5} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x + 5}}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 5}$ в виде ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Упростим ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 3.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 5)}^{1} = 0^{3}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Упростим.

$x + 5 = 0^{3}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 3.2.3

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 5}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 5}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 5)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{((- 8) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $- 8$ и $5$ .

$f'' (- 8) = - \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Этап 5.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{{(- 3)}^{\frac{7}{3}}}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, - 5)$ , поскольку $f'' (- 8)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 5)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 5, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{{((0) + 5)}^{\frac{7}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $0$ и $5$ .

$f'' (0) = - \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$ .

$- \frac{36}{5^{\frac{7}{3}}}$

Этап 6.3

График вогнут вниз на интервале $(- 5, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- 5, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, - 5)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- 5, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8