Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{2} \ln (x)$ , $y = 12 \ln (x)$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$x^{2} \ln (x^{3}) = \ln (x^{12})$

Этап 1.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = 1, 2$

Этап 1.3

Вычислим $y$ , когда $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Этап 1.3.2

Подставим $1$ вместо $x$ в $y = \ln ({(1)}^{12})$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \ln (1^{12})$

Этап 1.3.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \ln ({(1)}^{12})$

Этап 1.3.2.3

Упростим $\ln ({(1)}^{12})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = \ln (1)$

Этап 1.3.2.3.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Вычислим $y$ , когда $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Этап 1.4.2

Подставим $2$ вместо $x$ в $y = \ln ({(2)}^{12})$ и решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \ln (2^{12})$

Этап 1.4.2.2

Избавимся от скобок.

$y = \ln ({(2)}^{12})$

Этап 1.4.2.3

Возведем $2$ в степень $12$ .

$y = \ln (4096)$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

$(1, 0)$

$(2, \ln (4096))$

Этап 2

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{1}^{2} \ln (x^{12}) d x - \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Этап 3

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $1$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - (x^{2} \ln (x^{3})) d x$

Этап 3.2

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{2} \ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3}) d x$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (x^{12}) - x^{2} \ln (x^{3})$ в виде $12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x))$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Этап 3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - x^{2} (3 \ln (x)) d x$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int_{1}^{2} 12 \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.6

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int_{1}^{2} \ln (x) d x + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = 1$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x \frac{1}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Сократим общий множитель.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{x} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.8.2.2

Перепишем это выражение.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} d x) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) + \int_{1}^{2} - 3 x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.10

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 \int_{1}^{2} x^{2} \ln (x) d x$

Этап 3.11

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x^{2}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.12.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.12.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Этап 3.12.4

Умножим $\frac{x^{3}}{3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{3}}{3 x} d x)$

Этап 3.12.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x)$

Этап 3.12.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Этап 3.12.5.2.2

Сократим общий множитель.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x)$

Этап 3.12.5.2.3

Перепишем это выражение.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{3} d x)$

Этап 3.13

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{2} x^{2} d x))$

Этап 3.14

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2})$

Этап 3.15

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{1}{3} \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2})$

Этап 3.15.1.2

Объединим $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$12 (\ln (x) x]_{1}^{2} - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Этап 3.15.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.2.1

Найдем значение $\ln (x) x$ в $2$ и в $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{2})) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Этап 3.15.2.2

Найдем значение $x$ в $2$ и в $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{2} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Этап 3.15.2.3

Найдем значение $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{3})$

Этап 3.15.2.4

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$12 ((\ln (2) \cdot 2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.2.5.1

Перенесем $2$ влево от $\ln (2)$ .

$12 (2 \cdot \ln (2) - \ln (1) \cdot 1 - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - ((2) - 1)) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1 \cdot 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 ((\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{\ln (2) \cdot 8}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.6

Перенесем $8$ влево от $\ln (2)$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \cdot \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.7

Единица в любой степени равна единице.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.8

Умножим $\ln (1)$ на $1$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.9

Возведем $2$ в степень $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.10

Единица в любой степени равна единице.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{8 - 1}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.12

Вычтем $1$ из $8$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{\frac{7}{3}}{3})$

Этап 3.15.2.5.13

Перепишем $\frac{\frac{7}{3}}{3}$ в виде произведения.

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}))$

Этап 3.15.2.5.14

Умножим $\frac{7}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{3 \cdot 3})$

Этап 3.15.2.5.15

Умножим $3$ на $3$ .

$12 (2 \ln (2) - \ln (1) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.1.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$12 (2 \ln (2) + 0 - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.2

Добавим $2 \ln (2)$ и $0$ .

$12 (2 \ln (2) - 1) - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (2 \ln (2)) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.4

Умножим $2$ на $12$ .

$24 \ln (2) + 12 \cdot - 1 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.5

Умножим $12$ на $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - \ln (1)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Этап 3.16.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.7.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) - 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Этап 3.16.1.7.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 7}{9})$

Этап 3.16.1.8

Добавим $8 \ln (2)$ и $0$ .

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} + \frac{- 7}{9})$

Этап 3.16.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$24 \ln (2) - 12 - 3 (\frac{8 \ln (2)}{3} - \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$24 \ln (2) - 12 - 3 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.11

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.11.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 + 3 (- 1) \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.11.2

Сократим общий множитель.

$24 \ln (2) - 12 + 3 \cdot - 1 \frac{8 \ln (2)}{3} - 3 (- \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.11.3

Перепишем это выражение.

$24 \ln (2) - 12 - (8 \ln (2)) - 3 (- \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.12

Умножим $8$ на $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (- \frac{7}{9})$

Этап 3.16.1.13

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{9}$ в числитель.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - 3 (\frac{- 7}{9})$

Этап 3.16.1.13.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 (- 1) \frac{- 7}{9}$

Этап 3.16.1.13.3

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Этап 3.16.1.13.4

Сократим общий множитель.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 3 \cdot - 1 \frac{- 7}{3 \cdot 3}$

Этап 3.16.1.13.5

Перепишем это выражение.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - \frac{- 7}{3}$

Этап 3.16.1.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.14.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) - - \frac{7}{3}$

Этап 3.16.1.14.2

Умножим $- - \frac{7}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.1.14.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + 1 (\frac{7}{3})$

Этап 3.16.1.14.2.2

Умножим $\frac{7}{3}$ на $1$ .

$24 \ln (2) - 12 - 8 \ln (2) + \frac{7}{3}$

Этап 3.16.2

Вычтем $8 \ln (2)$ из $24 \ln (2)$ .

$16 \ln (2) - 12 + \frac{7}{3}$

Этап 3.16.3

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) - 12 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7}{3}$

Этап 3.16.4

Объединим $- 12$ и $\frac{3}{3}$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3}{3} + \frac{7}{3}$

Этап 3.16.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$16 \ln (2) + \frac{- 12 \cdot 3 + 7}{3}$

Этап 3.16.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.16.6.1

Умножим $- 12$ на $3$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 36 + 7}{3}$

Этап 3.16.6.2

Добавим $- 36$ и $7$ .

$16 \ln (2) + \frac{- 29}{3}$

Этап 3.16.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$16 \ln (2) - \frac{29}{3}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $16 \ln (2)$ путем переноса $16$ под логарифм.

$\ln (2^{16}) - \frac{29}{3}$

Этап 4.2

Возведем $2$ в степень $16$ .

$\ln (65536) - \frac{29}{3}$

Этап 5