Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} + 2}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x^{2} + 2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2} + 2} d x$

Этап 4

Изменим порядок $x^{2}$ и $2$ .

$\int \frac{1}{2 + x^{2}} d x$

Этап 5

Перепишем $2$ в виде ${\sqrt{2}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{{\sqrt{2}}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}) + C$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})}{\sqrt{2}} + C$ в виде $\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{\sqrt{2}} + C$ .

$\frac{\arctan (\frac{x \sqrt{2}}{2})}{\sqrt{2}} + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2} x) + C$