Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.2.3

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3.3

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x} + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Этап 2.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $\cos (x) e^{x}$ и $e^{x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $e^{x}$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Этап 2.4.1.2

Добавим $e^{x} \cos (x)$ и $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + 2 e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Этап 2.4.3

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$2 e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x)$

Этап 2.4.4

Добавим $- e^{x} \sin (x)$ и $e^{x} \sin (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x) + 0$

Этап 2.4.5

Добавим $2 e^{x} \cos (x)$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} \cos (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x} \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Этап 3.2

$2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 3.4

$2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (e^{x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) e^{x})$

Этап 3.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 \cos (x) e^{x}$

Этап 3.5.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Этап 4

Третья производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$