Математический анализ Примеры

$f (x) = {(x^{3} - 4)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{3} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 4$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4])$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$4 {(x^{3} - 4)}^{3} (3 x^{2})$

Этап 1.2.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 {(x^{3} - 4)}^{3} x^{2}$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок множителей в $12 {(x^{3} - 4)}^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 4)}^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x^{3} - 4)}^{3}$ .

$12 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 4)}^{3}] + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 4$ .

$12 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 (x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 4$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 4]) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$12 (x^{2} (3 {(x^{3} - 4)}^{2} (3 x^{2})) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.4.4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$12 (x^{2} (9 {(x^{3} - 4)}^{2} x^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x^{2} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 (x^{2 + 2} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + {(x^{3} - 4)}^{3} (2 x))$

Этап 2.7

Перенесем $2$ влево от ${(x^{3} - 4)}^{3}$ .

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2}) + 2 \cdot {(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (x^{4} (9 {(x^{3} - 4)}^{2})) + 12 (2 {(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Этап 2.8.2

Умножим $9$ на $12$ .

$108 (x^{4} ({(x^{3} - 4)}^{2})) + 12 (2 {(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Этап 2.8.3

Умножим $2$ на $12$ .

$108 x^{4} {(x^{3} - 4)}^{2} + 24 ({(x^{3} - 4)}^{3} x)$

Этап 2.8.4

Вынесем множитель $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ из $108 x^{4} {(x^{3} - 4)}^{2} + 24 {(x^{3} - 4)}^{3} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Вынесем множитель $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ из $108 x^{4} {(x^{3} - 4)}^{2}$ .

$12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3}) + 24 {(x^{3} - 4)}^{3} x$

Этап 2.8.4.2

Вынесем множитель $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ из $24 {(x^{3} - 4)}^{3} x$ .

$12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3}) + 12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.4.3

Вынесем множитель $12 x {(x^{3} - 4)}^{2}$ из $12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3}) + 12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (2 (x^{3} - 4))$ .

$12 x {(x^{3} - 4)}^{2} (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.5

Перепишем ${(x^{3} - 4)}^{2}$ в виде $(x^{3} - 4) (x^{3} - 4)$ .

$12 x ((x^{3} - 4) (x^{3} - 4)) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.6

Развернем $(x^{3} - 4) (x^{3} - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x (x^{3} (x^{3} - 4) - 4 (x^{3} - 4)) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 4 - 4 (x^{3} - 4)) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 4 - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.7.1.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.7.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x (x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 4 - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.7.1.1.2

Добавим $3$ и $3$ .

$12 x (x^{6} + x^{3} \cdot - 4 - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.7.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x^{3}$ .

$12 x (x^{6} - 4 \cdot x^{3} - 4 x^{3} - 4 \cdot - 4) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.7.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$12 x (x^{6} - 4 x^{3} - 4 x^{3} + 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.7.2

Вычтем $4 x^{3}$ из $- 4 x^{3}$ .

$12 x (x^{6} - 8 x^{3} + 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 x \cdot x^{6} + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.9.1

Умножим $x$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.9.1.1

Перенесем $x^{6}$ .

$(12 (x^{6} x) + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.9.1.2

Умножим $x^{6}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.9.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(12 (x^{6} x^{1}) + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.9.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(12 x^{6 + 1} + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.9.1.3

Добавим $6$ и $1$ .

$(12 x^{7} + 12 x (- 8 x^{3}) + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x \cdot x^{3} + 12 x \cdot 16) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.9.3

Умножим $16$ на $12$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x \cdot x^{3} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.10.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.10.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 (x^{3} x) + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.10.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 (x^{3} x^{1}) + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x^{3 + 1} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.10.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$(12 x^{7} + 12 \cdot - 8 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.10.2

Умножим $12$ на $- 8$ .

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 (x^{3} - 4))$

Этап 2.8.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 4)$

Этап 2.8.11.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (9 x^{3} + 2 x^{3} - 8)$

Этап 2.8.12

Добавим $9 x^{3}$ и $2 x^{3}$ .

$(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (11 x^{3} - 8)$

Этап 2.8.13

Развернем $(12 x^{7} - 96 x^{4} + 192 x) (11 x^{3} - 8)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$12 x^{7} (11 x^{3}) + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.14.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.2

Умножим $x^{7}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.14.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$12 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 \cdot 11 x^{3 + 7} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.2.3

Добавим $3$ и $7$ .

$12 \cdot 11 x^{10} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.3

Умножим $12$ на $11$ .

$132 x^{10} + 12 x^{7} \cdot - 8 - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.4

Умножим $- 8$ на $12$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 x^{4} (11 x^{3}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.6

Умножим $x^{4}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.14.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 x^{3 + 4} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.6.3

Добавим $3$ и $4$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 96 \cdot 11 x^{7} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.7

Умножим $- 96$ на $11$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} - 96 x^{4} \cdot - 8 + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.8

Умножим $- 8$ на $- 96$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 x (11 x^{3}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.10

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.14.10.1

Перенесем $x^{3}$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 (x^{3} x) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.10.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.14.10.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.10.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 x^{3 + 1} + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.10.3

Добавим $3$ и $1$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 192 \cdot 11 x^{4} + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.11

Умножим $192$ на $11$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 2112 x^{4} + 192 x \cdot - 8$

Этап 2.8.14.12

Умножим $- 8$ на $192$ .

$132 x^{10} - 96 x^{7} - 1056 x^{7} + 768 x^{4} + 2112 x^{4} - 1536 x$

Этап 2.8.15

Вычтем $1056 x^{7}$ из $- 96 x^{7}$ .

$132 x^{10} - 1152 x^{7} + 768 x^{4} + 2112 x^{4} - 1536 x$

Этап 2.8.16

Добавим $768 x^{4}$ и $2112 x^{4}$ .

$f'' (x) = 132 x^{10} - 1152 x^{7} + 2880 x^{4} - 1536 x$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $132 x^{10} - 1152 x^{7} + 2880 x^{4} - 1536 x$ .

$132 x^{10} - 1152 x^{7} + 2880 x^{4} - 1536 x$