Математический анализ Примеры

$y = x {(2 x + 3)}^{5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x + 3)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{5}] + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = 2 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + \frac{d}{d x} [3])) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} (2 + 0)) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$x (5 {(2 x + 3)}^{4} \cdot 2) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.6.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5} \cdot 1$

Этап 1.3.8

Умножим ${(2 x + 3)}^{5}$ на $1$ .

$x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{4}$ из $x (10 {(2 x + 3)}^{4}) + {(2 x + 3)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{4}$ из $x (10 {(2 x + 3)}^{4})$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{5}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{4}$ из ${(2 x + 3)}^{5}$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{4}$ из ${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10)) + {(2 x + 3)}^{4} (2 x + 3)$ .

${(2 x + 3)}^{4} (x \cdot (10) + 2 x + 3)$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем $10$ влево от $x$ .

${(2 x + 3)}^{4} (10 \cdot x + 2 x + 3)$

Этап 1.4.2.2

Добавим $10 x$ и $2 x$ .

$f' (x) = {(2 x + 3)}^{4} (12 x + 3)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

${(2 x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [12 x + 3] + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $12 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.2.4

Умножим $12$ на $1$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + \frac{d}{d x} [3]) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} (12 + 0) + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $12$ и $0$ .

${(2 x + 3)}^{4} \cdot 12 + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $12$ влево от ${(2 x + 3)}^{4}$ .

$12 \cdot {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{4}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (12 x + 3) (4 {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $4$ влево от $12 x + 3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 \cdot (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Этап 2.4.2

По правилу суммы производная $2 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 2.4.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} (2 + 0)$

Этап 2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 4 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3} \cdot 2$

Этап 2.4.7.2

Умножим $2$ на $4$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + 8 (12 x + 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (8 (12 x) + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.5.2

Умножим $12$ на $8$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 8 \cdot 3) {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.5.3

Умножим $8$ на $3$ .

$12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{3}$ из $12 {(2 x + 3)}^{4} + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{3}$ из $12 {(2 x + 3)}^{4}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + (96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{3}$ из $(96 x + 24) {(2 x + 3)}^{3}$ .

${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$

Этап 2.5.4.3

Вынесем множитель ${(2 x + 3)}^{3}$ из ${(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3)) + {(2 x + 3)}^{3} (96 x + 24)$ .

$f'' (x) = {(2 x + 3)}^{3} (12 (2 x + 3) + 96 x + 24)$