Математический анализ Примеры

$y = 5 \sec (x) \csc (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sec (x) \csc (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \csc (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sec (x) \csc (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$5 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 1.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 1.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))) + 5 (\csc (x) \sec (x) \tan (x))$

Этап 1.5.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \sec (x) \csc (x) \cot (x) + 5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) + 5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) + 5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x)$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x) \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.2

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.4

$- 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.5

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.6

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.7

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.8

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.10

Добавим $1$ и $1$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.11

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2.13

Добавим $1$ и $2$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + \frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.3.2

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)])$

Этап 2.3.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\csc (x) \sec (x)])$

Этап 2.3.4

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 2.3.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Этап 2.3.6

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.3.7

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $\sec^{2} (x)$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) (\sec^{2} (x) \sec (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.3.7.2

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x)) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.3.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) {\sec (x)}^{2 + 1} + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.3.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x)) + \sec (x) (- \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x) + \tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 (\cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)) - 5 (\sec (x) (- \csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x)) + 5 (\tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) (\csc (x) \cot^{2} (x))) - 5 (\sec (x) (- \csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x)) + 5 (\tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.5.2

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 (\sec (x) (\csc^{3} (x))) + 5 (\csc (x) \sec^{3} (x)) + 5 (\tan (x) (\csc (x) \sec (x) \tan (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.5.3

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{1} (x) \tan (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.5.4

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 ({\tan (x)}^{1 + 1} (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 (\tan^{2} (x) (\csc (x) \sec (x))) + 5 (\tan (x) (\sec (x) (- \csc (x) \cot (x))))$

Этап 2.4.5.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 (\tan (x) \sec (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Этап 2.4.5.8

Изменим порядок множителей в $- 5 \tan (x) \sec (x) \csc (x) \cot (x)$ .

$- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x) - 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 2.4.5.9

Вычтем $5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ из $- 5 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x)$ .

$- 10 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \csc (x) \cot^{2} (x) + 5 \sec (x) \csc^{3} (x) + 5 \csc (x) \sec^{3} (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$

Этап 2.4.6

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 10 \cot (x) \csc (x) \sec (x) \tan (x) + 5 \cot^{2} (x) \csc (x) \sec (x) + 5 \csc^{3} (x) \sec (x) + 5 \sec^{3} (x) \csc (x) + 5 \tan^{2} (x) \csc (x) \sec (x)$