Математический анализ Примеры

$\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Умножим ${(x + 4)}^{2}$ на $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель $x + 4$ из $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.10.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.10.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.10.4

Объединим $4$ и $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.3.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.5

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.7

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 2.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x - 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 3.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{({(x + 4)}^{3})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.3.5.2

Умножим ${(x + 4)}^{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} {(x + 4)}^{3}}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - (x - 4) (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель ${(x + 4)}^{2}$ из ${(x + 4)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель ${(x + 4)}^{2}$ из ${(x + 4)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) - 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем множитель ${(x + 4)}^{2}$ из $- 3 (x - 4) ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.5.2.3

Вынесем множитель ${(x + 4)}^{2}$ из ${(x + 4)}^{2} (x + 4) + {(x + 4)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{6}}$

Этап 3.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель ${(x + 4)}^{2}$ из ${(x + 4)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 4)}^{2} (x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4)))}{{(x + 4)}^{2} {(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x + 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.10.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.10.3

Объединим $- 4$ и $\frac{x + 4 - 3 (x - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.10.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 (x - 4))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 x + 4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.3.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.3.1.3

Умножим $4 (- 3 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.3.1.3.1

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.3.1.3.2

Умножим $4$ на $12$ .

$f'' (x) = - \frac{4 x + 16 - 12 x + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.3.2

Вычтем $12 x$ из $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 16 + 48}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.3.3

Добавим $16$ и $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.4

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8 x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 64}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.4.2

Вынесем множитель $8$ из $64$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x) + 8 (8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.4.3

Вынесем множитель $8$ из $8 (- x) + 8 (8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- x + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) + 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.6

Перепишем $8$ в виде $- 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x) - 1 \cdot - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.8

Перепишем $- (x - 8)$ в виде $- 1 (x - 8)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 (- 1 (x - 8))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 3.11.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}})$

Этап 3.11.11

Умножим $\frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (x - 8)}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2}}]$

Этап 5.1.2

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{({(x + 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 5.1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.3.3

Умножим ${(x + 4)}^{2}$ на $1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2}]}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 4$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - x (2 (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{{(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.5.2

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{2} - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.2.1

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{2}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) - 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.5.2.2

Вынесем множитель $x + 4$ из $- 2 x ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 4])$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.5.2.3

Вынесем множитель $x + 4$ из $(x + 4) (x + 4) + (x + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{{(x + 4)}^{4}}$

Этап 5.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Вынесем множитель $x + 4$ из ${(x + 4)}^{4}$ .

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{(x + 4) (x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4]))}{(x + 4) {(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.6.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.7

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.9

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x \cdot 1}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.10.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$4 \frac{x + 4 - 2 x}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.10.3

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$4 \frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.10.4

Объединим $4$ и $\frac{- x + 4}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- x) + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 x + 4 \cdot 4}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{- 4 x + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.11.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x$ .

$\frac{4 (- x) + 16}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.3.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{4 (- x) + 4 (4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x) + 4 (4)$ .

$\frac{4 (- x + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.5

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 (- (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.7

Перепишем $- (x - 4)$ в виде $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 4))}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.1.11.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (x - 4) = 0$

Этап 6.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $4 (x - 4) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим каждый член $4 (x - 4) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.2.1.2

Разделим $x - 4$ на $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Этап 6.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 (x - 4)}{{(x + 4)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 4)}^{3} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 7.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 ((4) - 8)}{{((4) + 4)}^{4}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{{(4 + 4)}^{4}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8^{4}}$

Этап 10.2.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{4096}$

Этап 10.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $8$ на $- 4$ .

$\frac{- 32}{4096}$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель $- 32$ и $4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вынесем множитель $32$ из $- 32$ .

$\frac{32 (- 1)}{4096}$

Этап 10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вынесем множитель $32$ из $4096$ .

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Этап 10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 128}$

Этап 10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{128}$

Этап 10.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{128}$

Этап 11

$x = 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{4 (4)}{{((4) + 4)}^{2}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (4) = \frac{16}{{(4 + 4)}^{2}}$

Этап 12.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Добавим $4$ и $4$ .

$f (4) = \frac{16}{8^{2}}$

Этап 12.2.2.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (4) = \frac{16}{64}$

Этап 12.2.3

Сократим общий множитель $16$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Вынесем множитель $16$ из $16$ .

$f (4) = \frac{16 (1)}{64}$

Этап 12.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.2.1

Вынесем множитель $16$ из $64$ .

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Этап 12.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4) = \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Этап 12.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4) = \frac{1}{4}$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{4 x}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$(4, \frac{1}{4})$ — локальный максимум

Этап 14