Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ , $a = 81$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 81$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (81) + f' (81) (x - 81)$

Этап 3

Найдем значение $f (81)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $81$ .

$f (81) = {(81)}^{\frac{3}{4}}$

Этап 3.2

Упростим ${(81)}^{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Избавимся от скобок.

${(81)}^{\frac{3}{4}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $81$ в виде $3^{4}$ .

${(3^{4})}^{\frac{3}{4}}$

Этап 3.2.1.3

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{4 (\frac{3}{4})}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$3^{4 (\frac{3}{4})}$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$3^{3}$

Этап 3.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = x^{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1}$

Этап 4.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 4.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Этап 4.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}$

Этап 4.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}}$

Этап 4.1.5.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}}$

Этап 4.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}}$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.1.7.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $81$ .

$\frac{3}{4 {(81)}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $81$ в виде $3^{4}$ .

$\frac{3}{4 \cdot {(3^{4})}^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4 \cdot 3^{4 (\frac{1}{4})}}$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4 \cdot 3^{4 (\frac{1}{4})}}$

Этап 4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4 \cdot 3^{1}}$

Этап 4.3.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{3}{4 \cdot 3}$

Этап 4.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{3}{12}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (1)}{12}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4}$

Этап 4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 27 + \frac{1}{4} (x - 81)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = 27 + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 81$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$L (x) = 27 + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 81$

Этап 6.1.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 81$ .

$L (x) = 27 + \frac{x}{4} + \frac{- 81}{4}$

Этап 6.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L (x) = 27 + \frac{x}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 6.2

Чтобы записать $27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + 27 \cdot \frac{4}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 6.3

Объединим $27$ и $\frac{4}{4}$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{27 \cdot 4}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{27 \cdot 4 - 81}{4}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $27$ на $4$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{108 - 81}{4}$

Этап 6.5.2

Вычтем $81$ из $108$ .

$L (x) = \frac{x}{4} + \frac{27}{4}$

Этап 7