Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x}$ , $a = 9$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = 9$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Этап 3

Найдем значение $f (9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$f (9) = \sqrt{9}$

Этап 3.2

Упростим $\sqrt{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$(\sqrt{9})$

Этап 3.2.2

Избавимся от скобок.

$\sqrt{9}$

Этап 3.2.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Этап 3.2.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем производную $f (x) = \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 4.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 4.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 4.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 4.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 4.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 4.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $9$ .

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 4.3.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Этап 4.3.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{6}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Этап 6.1.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Этап 6.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Этап 6.1.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 9$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Этап 6.1.3.3

Сократим общий множитель.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Этап 6.1.3.4

Перепишем это выражение.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Этап 6.1.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 3$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Этап 6.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Этап 6.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 6.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

Этап 6.5.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Этап 7