Математический анализ Примеры

$r^{2} \cos (2 θ) = 1$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $r^{2} \cos (2 θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ) - 1) = 1$

Этап 1.1.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r^{2} (2 \cos^{2} (θ)) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Этап 1.1.2.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \cdot - 1 = 1$

Этап 1.1.2.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - 1 \cdot r^{2} = 1$

Этап 1.1.3

Перепишем $- 1 r^{2}$ в виде $- r^{2}$ .

$2 r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} = 1$

Этап 2

Так как $\cos (θ) = \frac{x}{r}$ , заменим $\cos (θ)$ на $\frac{x}{r}$ .

$2 r^{2} {(\frac{x}{r})}^{2} - r^{2} = 1$

Этап 3

Так как $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , заменим $r^{2}$ на $x^{2} + y^{2}$ , и $r$ на $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4

Запишем в стандартной форме.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $2 (x^{2} + y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.2

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.3.1

Умножим $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.2

Возведем $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ в степень $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.3

Возведем $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ в степень $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.6

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ в виде $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ в виде ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.3.6.5

Упростим.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) {(\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.4

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.4.1

Применим правило умножения к $\frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{{(x \sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.4.2

Применим правило умножения к $x \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.5

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ в виде $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ в виде ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.5.5

Упростим.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.6

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ и ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + y^{2}$ из $x^{2} (x^{2} + y^{2})$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.6.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + y^{2}$ из ${(x^{2} + y^{2})}^{2}$ .

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{(x^{2} + y^{2}) x^{2}}{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2})} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.7

Умножим $2 x^{2} + 2 y^{2}$ на $\frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.8

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2} + 2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y^{2}$ .

$\frac{(2 (x^{2}) + 2 (y^{2})) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{2}) + 2 (y^{2})$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.9

Сократим общий множитель $x^{2} + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.9.2

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$2 x^{2} - (x^{2} + y^{2}) = 1$

Этап 4.1.1.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - x^{2} - y^{2} = 1$

Этап 4.1.1.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$x^{2} - y^{2} = 1$

Этап 4.1.2

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} = 1 - x^{2}$

Этап 4.1.3

Разделим каждый член $- y^{2} = 1 - x^{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Разделим каждый член $- y^{2} = 1 - x^{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 4.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 4.1.3.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 4.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$y^{2} = - 1 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

Этап 4.1.3.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y^{2} = - 1 + \frac{x^{2}}{1}$

Этап 4.1.3.3.1.3

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = - 1 + x^{2}$

Этап 4.1.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$

Этап 4.1.5

Упростим $\pm \sqrt{- 1 + x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1^{2} + x^{2}}$

Этап 4.1.5.1.2

Изменим порядок $- 1^{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

Этап 4.1.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.1.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.1.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.1.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 4.2

Чтобы записать многочлен в стандартной форме, упростим его, а затем расположим члены в порядке убывания.

$y = a x^{2} + b x + c$

Этап 4.3

Стандартная форма: $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}, - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$y = - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Этап 5