Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 24}{x + 4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x - 24$ и $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 24] - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]) - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 24]) - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]) - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]) - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 24]) - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 24) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.8

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 24) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 24) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 24) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 24) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + 4) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 24)}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x + 4) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1

Развернем $(x + 4) (2 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x - 2) + 4 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 4 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.1.4

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 8 x + 4 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.1.5

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 8 x - 8 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.2.2

Добавим $- 2 x$ и $8 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x - 8 - x^{2} - (- 2 x) - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x - 8 - x^{2} + 2 x - - 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$\frac{2 x^{2} + 6 x - 8 - x^{2} + 2 x + 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x - 8 + 2 x + 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} + 8 x - 8 + 24}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2.4

Добавим $- 8$ и $24$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 16}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 8 x + 4^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.3.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 1.3.3.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.3.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Сократим общий множитель ${(x + 4)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f' (x) = 1$

Этап 2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $0$ .

$0$