Математический анализ Примеры

$\cos (\sqrt{x})$

Этап 1

Запишем $\cos (\sqrt{x})$ в виде функции.

$f (x) = \cos (\sqrt{x})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \cos (\sqrt{x}) d x$

Этап 4

Пусть $u = \sqrt{x}$ . Тогда $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $2 x^{\frac{1}{2}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

$\int 2 u \cos (u) d u$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u \cos (u) d u$

Этап 6

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = \cos (u)$ .

$2 (u \sin (u) - \int \sin (u) d u)$

Этап 7

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$

Этап 8

Перепишем $2 (u \sin (u) - (- \cos (u) + C))$ в виде $2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$ .

$2 (u \sin (u) + \cos (u)) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $\sqrt{x}$ .

$2 (\sqrt{x} \sin (\sqrt{x}) + \cos (\sqrt{x})) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \cos (\sqrt{x})$ .

$F (x) =$ $2 (\sqrt{x} \sin (\sqrt{x}) + \cos (\sqrt{x})) + C$