Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 8 - 3 x}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Изменим порядок $8$ и $- 3 x$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 x + 8}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Этап 1.2.2

Для многочлена, старший коэффициент которого отрицателен, предел в бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 9 x^{2} + 11}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{- \infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{- \infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{8 - 3 x}{9 x^{2} + 11} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $8 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3.5

Вычтем $3$ из $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 11]}$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]}$

Этап 3.7.3

Умножим $2$ на $9$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + \frac{d}{d x} [11]}$

Этап 3.8

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x + 0}$

Этап 3.9

Добавим $18 x$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3}{18 x}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{18 x}$

Этап 4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (- 1)}{3 (6 x)}$

Этап 4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot - 1}{3 (6 x)}$

Этап 4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{6 x}$

Этап 4.2

Вынесем член $\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{x}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{- 1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 0$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{6}$ на $0$ .

$0$