Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin^{3} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ и $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin^{2} (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.6

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.6.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.7

Перенесем $- 1$ влево от $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.8

Перепишем $- 1 \sin^{3} (x)$ в виде $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.2.4.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Этап 1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5

Приравняем $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Заменим $4 \cos^{2} (x)$ на $4 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 2.5.2.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 2.5.2.3.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 2.5.2.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Этап 2.5.2.5

Разделим каждый член $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Разделим каждый член $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Этап 2.5.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Этап 2.5.2.5.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Этап 2.5.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.3.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Этап 2.5.2.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Этап 2.5.2.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.5.2.7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.7.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.7.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.7.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.5.2.7.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.5.2.7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.2.7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.5.2.7.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.2.7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.2.7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.5.2.7.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.2.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.2.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.2.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.2.10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.5.2.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.10.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.10.3

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.10.4

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.10.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.10.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.10.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.10.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.5.2.10.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.10.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.5.2.10.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.5.2.10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.10.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5.2.11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 2.5.2.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.11.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 2.5.2.11.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 2.5.2.11.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 2.5.2.11.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.11.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 2.5.2.11.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.11.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.5.2.11.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.5.2.11.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.11.6.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 2.5.2.11.6.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 2.5.2.11.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 2.5.2.11.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5.2.12

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.5.2.13

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставляя в $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$ , найдем точку $(,)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(,)$

Этап 3.2

Подставим $\frac{π}{4}$ в $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 \sin^{3} (\frac{π}{4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.3.3.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{8}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 (4)}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = 2 (\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 4}) + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.6

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 (\sqrt{2})}{4} + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \sin (\frac{π}{4}) - 2$

Этап 3.2.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 (\frac{\sqrt{2}}{2}) - 2$

Этап 3.2.2.1.8

Объединим $3$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} - 2$

Этап 3.2.2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 + \frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.2.2.2

Добавим $\sqrt{2}$ и $3 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 + \frac{4 \sqrt{2}}{2}$

Этап 3.2.2.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2}$

Этап 3.2.2.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 (1)}$

Этап 3.2.2.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 + \frac{2 (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.2.2.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{4}) = - 2 + \frac{2 \sqrt{2}}{1}$

Этап 3.2.2.2.3.2.4

Разделим $2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

$- 2 + 2 \sqrt{2}$

Этап 3.3

Подставляя $\frac{π}{4}$ в $f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 2$ , найдем точку $(\frac{π}{4}, - 2 + 2 \sqrt{2})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{π}{4}, - 2 + 2 \sqrt{2})$

Этап 3.4

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(,), (\frac{π}{4}, - 2 + 2 \sqrt{2})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty,) \cup (, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty,)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = 12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$ .

$12 \cos^{2} (- 0.1) \sin (- 0.1) - 6 \sin^{3} (- 0.1) - 3 \sin (- 0.1)$

Этап 5.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $- 0.88059055$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty,)$ .

Убывание на $(- \infty,)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(, \frac{π}{4})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.39269908$ .

$f'' (0.39269908) = 12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$ .

$12 \cos^{2} (0.39269908) \sin (0.39269908) - 6 \sin^{3} (0.39269908) - 3 \sin (0.39269908)$

Этап 6.3

При $0.39269908$ вторая производная имеет вид $2.43538245$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(, \frac{π}{4})$ .

Возрастание в области $(, \frac{π}{4})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{4}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = 12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$ .

$12 \cos^{2} (0.88539816) \sin (0.88539816) - 6 \sin^{3} (0.88539816) - 3 \sin (0.88539816)$

Этап 7.3

При $0.88539816$ вторая производная имеет вид $- 1.38422929$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π}{4}, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(,), (\frac{π}{4}, - 2 + 2 \sqrt{2})$ .

$(,), (\frac{π}{4}, - 2 + 2 \sqrt{2})$

Этап 9