Математический анализ Примеры

$x \ln (x) - x$

Этап 1

Запишем $x \ln (x) - x$ в виде функции.

$f (x) = x \ln (x) - x$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \ln (x) - x d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x \ln (x) d x + \int - x d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (x)$ и $d v = x$ .

$\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

Этап 6.2

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x + \int - x d x$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x} d x) + \int - x d x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} d x) + \int - x d x$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x} d x) + \int - x d x$

Этап 8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x) + \int - x d x$

Этап 8.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

Этап 8.2.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x) + \int - x d x$

Этап 8.2.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{1} d x) + \int - x d x$

Этап 8.2.2.5

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int - x d x$

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x d x + \int - x d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 12.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Чтобы записать $- \frac{x^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 12.3.2

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.2.1

Умножим $\frac{x^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + C$

Этап 12.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} + C$

Этап 12.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - x^{2} \cdot 2}{4} + C$

Этап 12.3.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- x^{2} - 2 x^{2}}{4} + C$

Этап 12.3.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} + \frac{- 3 x^{2}}{4} + C$

Этап 12.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\ln (x) x^{2}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \ln (x) - x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \ln (x) x^{2} - \frac{3}{4} x^{2} + C$