Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{2} - 6 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{2} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x - 6 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = 8 x - 6$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x - 6$ .

$8 x - 6$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x - 6 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x - 6 = 0$

Этап 2.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$8 x = 6$

Этап 2.3

Разделим каждый член $8 x = 6$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $8 x = 6$ на $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{6}{8}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x}{8} = \frac{6}{8}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{6}{8}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$x = \frac{2 (3)}{8}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $4 x^{2} - 6 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{3}{4}$ вместо $x$ .

$4 {(\frac{3}{4})}^{2} - 6 (\frac{3}{4})$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$4 \frac{3^{2}}{4^{2}} - 6 (\frac{3}{4})$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$4 \frac{9}{4^{2}} - 6 (\frac{3}{4})$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$4 (\frac{9}{16}) - 6 (\frac{3}{4})$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$4 \frac{9}{4 (4)} - 6 (\frac{3}{4})$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{9}{4 \cdot 4} - 6 (\frac{3}{4})$

Этап 4.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{4} - 6 (\frac{3}{4})$

Этап 4.1.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{9}{4} + 2 (- 3) \frac{3}{4}$

Этап 4.1.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{9}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{4} - 3 (\frac{3}{2})$

Этап 4.1.2.1.6

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 3 \cdot 3}{2}$

Этап 4.1.2.1.7

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{9}{4} + \frac{- 9}{2}$

Этап 4.1.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{9}{4} - \frac{9}{2}$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{9}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{9}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{9}{4} - \frac{9 \cdot 2}{4}$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 - 9 \cdot 2}{4}$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{9 - 18}{4}$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $18$ из $9$ .

$\frac{- 9}{4}$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{4}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(\frac{3}{4}, - \frac{9}{4})$

Этап 5