Математический анализ Примеры

$\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x^{1} - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 - x^{2}}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot 1 + x (- x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{x (1 - x)}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5.2.2

Перенесем $x^{\frac{1}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} \int x (1 - x) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 5.2.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x (1 - x) d x$

Этап 5.2.3.2

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} x^{1} (1 - x) d x$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + 1} (1 - x) d x$

Этап 5.2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} (1 - x) d x$

Этап 5.2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1 + 3}{3}} (1 - x) d x$

Этап 5.2.3.5

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} (1 - x) d x$

Этап 6

Развернем $x^{\frac{2}{3}} (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Этап 6.2

Изменим порядок $x^{\frac{2}{3}}$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{2}{3}} (- x) d x$

Этап 6.3

Изменим порядок $x^{\frac{2}{3}}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} - 1 \cdot x^{\frac{2}{3}} x d x$

Этап 6.4

Умножим $x^{\frac{2}{3}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{\frac{2}{3}} x d x$

Этап 6.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x) d x$

Этап 6.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}} x^{1}) d x$

Этап 6.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + 1} d x$

Этап 6.8

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3} + \frac{3}{3}} d x$

Этап 6.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2 + 3}{3}} d x$

Этап 6.10

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{5}{3}} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} (\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - x^{\frac{5}{3}} d x)$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{\frac{5}{3}} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{5}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C))$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x - x^{2}}{2 \sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}) + C$