Математический анализ Примеры

$f (x) = x - \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$1 - - \sin (x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + 1 \sin (x)$

Этап 1.1.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f' (x) = 1 + \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $1 + \sin (x)$ .

$1 + \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $1 + \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$1 + \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 2.6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.8

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 2.8.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.8.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.8.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.8.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.8.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 1 + \sin (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = x - \cos (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ .

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.3

Упростим.

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.4

При $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ производная имеет вид $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ .

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.4

При $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ производная имеет вид $1 + \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Этап 8