Математический анализ Примеры

$x^{2} - x - \ln (x)$

Этап 1

Запишем $x^{2} - x - \ln (x)$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - x - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 x - 1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2.1.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 x - 1 - \frac{1}{x}$

Этап 2.1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2 x - \frac{1}{x} - 1$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $2 x - \frac{1}{x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.3.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$2 + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + x^{- 2} + 0$

Этап 2.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}} + 0$

Этап 2.1.2.5.2

Добавим $2 + \frac{1}{x^{2}}$ и $0$ .

$2 + \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.1.2.5.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 2$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 2 = 0$

Этап 2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{2}} = - 2$

Этап 2.2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, 1$

Этап 2.2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{2}$

Этап 2.2.4

Каждый член в $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ умножим на $x^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{2}} = - 2$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Этап 2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

Этап 2.2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = - 2 x^{2}$

Этап 2.2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 2 x^{2} = 1$ .

$- 2 x^{2} = 1$

Этап 2.2.5.2

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Разделим каждый член $- 2 x^{2} = 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.2.5.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 2}$

Этап 2.2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Этап 2.2.5.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Этап 2.2.5.4.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.2.5.4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Этап 2.2.5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.2.5.4.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2.5.4.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.2.5.4.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Этап 2.2.5.4.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.2.5.4.7.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.2.5.4.7.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.2.5.4.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.2.5.4.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.2.5.4.7.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2.5.4.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.5.4.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.5.4.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.2.5.4.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.2.5.4.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.5.4.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = x^{2} - x - \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Интервальное представление:

$(0, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x > 0}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(0, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(0, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{{(2)}^{2}} + 2$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.2.3

Объединим $2$ и $\frac{4}{4}$ .

$f'' (2) = \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (2) = \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $2$ на $4$ .

$f'' (2) = \frac{1 + 8}{4}$

Этап 5.2.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$f'' (2) = \frac{9}{4}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{9}{4}$ .

$\frac{9}{4}$

Этап 5.3

График вогнут вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (2)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(0, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 6