Математический анализ Примеры

$x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2}$

Этап 1

Запишем $x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [150 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [150 x^{2}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [150 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [150 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [150 x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [150 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [150 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $150$ является константой относительно $x$ , производная $150 x^{2}$ по $x$ равна $150 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 150 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 150 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $150$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 60 x^{2} + 300 x$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 60 x^{2} + 300 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300 x]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300 x]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [300 x]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{2}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [300 x]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - 60 (2 x) + \frac{d}{d x} [300 x]$

Этап 2.2.3.3

Умножим $2$ на $- 60$ .

$12 x^{2} - 120 x + \frac{d}{d x} [300 x]$

Этап 2.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [300 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Поскольку $300$ является константой относительно $x$ , производная $300 x$ по $x$ равна $300 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 120 x + 300 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 120 x + 300 \cdot 1$

Этап 2.2.4.3

Умножим $300$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 120 x + 300$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 120 x + 300$ .

$12 x^{2} - 120 x + 300$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 120 x + 300 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 120 x + 300 = 0$

Этап 3.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} - 120 x + 300$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) - 120 x + 300 = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем множитель $12$ из $- 120 x$ .

$12 (x^{2}) + 12 (- 10 x) + 300 = 0$

Этап 3.2.1.3

Вынесем множитель $12$ из $300$ .

$12 x^{2} + 12 (- 10 x) + 12 \cdot 25 = 0$

Этап 3.2.1.4

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{2} + 12 (- 10 x)$ .

$12 (x^{2} - 10 x) + 12 \cdot 25 = 0$

Этап 3.2.1.5

Вынесем множитель $12$ из $12 (x^{2} - 10 x) + 12 \cdot 25$ .

$12 (x^{2} - 10 x + 25) = 0$

Этап 3.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$12 (x^{2} - 10 x + 5^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 3.2.2.3

Перепишем многочлен.

$12 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 3.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$12 {(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $12 {(x - 5)}^{2} = 0$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $12 {(x - 5)}^{2} = 0$ на $12$ .

$\frac{12 {(x - 5)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 {(x - 5)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим ${(x - 5)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{12}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $12$ .

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 3.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.5

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $5$ в $f (x) = x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = {(5)}^{4} - 20 {(5)}^{3} + 150 {(5)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $5$ в степень $4$ .

$f (5) = 625 - 20 {(5)}^{3} + 150 {(5)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (5) = 625 - 20 \cdot 125 + 150 {(5)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 20$ на $125$ .

$f (5) = 625 - 2500 + 150 {(5)}^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = 625 - 2500 + 150 \cdot 25$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $150$ на $25$ .

$f (5) = 625 - 2500 + 3750$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $2500$ из $625$ .

$f (5) = - 1875 + 3750$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $- 1875$ и $3750$ .

$f (5) = 1875$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $1875$ .

$1875$

Этап 4.2

Подставляя $5$ в $f (x) = x^{4} - 20 x^{3} + 150 x^{2}$ , найдем точку $(5, 1875)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(5, 1875)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 5)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4.9$ .

$f'' (4.9) = 12 {(4.9)}^{2} - 120 \cdot 4.9 + 300$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $4.9$ в степень $2$ .

$f'' (4.9) = 12 \cdot 24.01 - 120 \cdot 4.9 + 300$

Этап 6.2.1.2

Умножим $12$ на $24.01$ .

$f'' (4.9) = 288.12 - 120 \cdot 4.9 + 300$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 120$ на $4.9$ .

$f'' (4.9) = 288.12 - 588 + 300$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $588$ из $288.12$ .

$f'' (4.9) = - 299.88 + 300$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 299.88$ и $300$ .

$f'' (4.9) = 0.12$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.12$ .

$0.12$

Этап 6.3

При $4.9$ вторая производная имеет вид $0.12$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, 5)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 5)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(5, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5.1$ .

$f'' (5.1) = 12 {(5.1)}^{2} - 120 \cdot 5.1 + 300$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $5.1$ в степень $2$ .

$f'' (5.1) = 12 \cdot 26.01 - 120 \cdot 5.1 + 300$

Этап 7.2.1.2

Умножим $12$ на $26.01$ .

$f'' (5.1) = 312.12 - 120 \cdot 5.1 + 300$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 120$ на $5.1$ .

$f'' (5.1) = 312.12 - 612 + 300$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $612$ из $312.12$ .

$f'' (5.1) = - 299.88 + 300$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 299.88$ и $300$ .

$f'' (5.1) = 0.12$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.12$ .

$0.12$

Этап 7.3

При $5.1$ вторая производная имеет вид $0.12$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(5, \infty)$ .

Возрастание в области $(5, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. На графике нет точек, удовлетворяющих этим требованиям.

Нет точек перегиба