Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 x^{2}}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - x^{3}}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Изменим порядок $x$ и $- x^{3}$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} - x^{3} + x}$

Этап 1.3.2

Для многочлена, старший коэффициент которого отрицателен, предел в бесконечности равен минус бесконечности.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.3.3

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{- \infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{- \infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 x^{2}}{x - x^{3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x - x^{3}]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $x - x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]}$

Этап 3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - (3 x^{2})}$

Этап 3.7.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{1 - 3 x^{2}}$

Этап 3.8

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to \infty} \frac{14 x}{- 3 x^{2} + 1}$

Этап 4

Вынесем член $14$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{x}{- 3 x^{2} + 1}$

Этап 5

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.1.3.2

Сократим общий множитель.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.1.3.3

Перепишем это выражение.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель.

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.2.2

Разделим $- 3$ на $1$ .

$14 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$14 \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$14 \frac{0}{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$14 \frac{0}{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 8.2

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$14 \frac{0}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 9

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$14 \frac{0}{- 3 + 0}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $0$ и $- 3 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{- 3 + 0}$

Этап 10.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot - 1 + 0}$

Этап 10.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0}$

Этап 10.1.2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cdot - 1 + 3 \cdot 0$ .

$14 \frac{3 (0)}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Этап 10.1.2.4

Сократим общий множитель.

$14 \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot (- 1 + 0)}$

Этап 10.1.2.5

Перепишем это выражение.

$14 \frac{0}{- 1 + 0}$

Этап 10.2

Добавим $- 1$ и $0$ .

$14 (\frac{0}{- 1})$

Этап 10.3

Разделим $0$ на $- 1$ .

$14 \cdot 0$

Этап 10.4

Умножим $14$ на $0$ .

$0$