Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 2)}^{3}}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.2.3

Перенесем $2$ влево от ${(x - 2)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - x^{2} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.4.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.4.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} (1 + 0))}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} ({(x - 2)}^{2} \cdot 1)}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.4.5.2

Умножим ${(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2} x$ из $2 {(x - 2)}^{3} x - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1.1

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2} x$ из $2 {(x - 2)}^{3} x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) - 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5.1.1.2

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2} x$ из $- 3 x^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5.1.1.3

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2} x$ из ${(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} x (- 3 x)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 (x - 2) - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x + 2 \cdot - 2 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5.1.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (2 x - 4 - 3 x)}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5.1.4

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5.2

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{2}$ и ${(x - 2)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2}$ из ${(x - 2)}^{2} x (- x - 4)$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{6}}$

Этап 2.1.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.2.1

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{2}$ из ${(x - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x (- x - 4))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (- x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{x (- (x) - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.5.4

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (4)$ .

$\frac{x (- (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.5.6

Перепишем $- (x + 4)$ в виде $- 1 (x + 4)$ .

$\frac{x (- 1 (x + 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.1.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (x + 4) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 3.3.3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 4$ .

$0, - 4$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 2)}^{4} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 4)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{(- 5) ((- 5) + 4)}{{((- 5) - 2)}^{4}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $- 5$ и $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 5 - 2)}^{4}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 7)}^{4}}$

Этап 7.2.2.2

Возведем $- 7$ в степень $4$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 5 \cdot - 1}{2401}$

Этап 7.2.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$f' (- 5) = - \frac{5}{2401}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{5}{2401}$ .

$- \frac{5}{2401}$

Этап 7.3

При $x = - 5$ производная имеет вид $- \frac{5}{2401}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 4)$ .

Убывание на $(- \infty, - 4)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 4, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{(- 2) ((- 2) + 4)}{{((- 2) - 2)}^{4}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $- 2$ и $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 2 - 2)}^{4}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{{(- 4)}^{4}}$

Этап 8.2.2.2

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2 \cdot 2}{256}$

Этап 8.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 4}{256}$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 (- 1)}{256}$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $256$ .

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (- 2) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 64}$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{64}$

Этап 8.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = \frac{1}{64}$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $\frac{1}{64}$ .

$\frac{1}{64}$

Этап 8.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $\frac{1}{64}$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 4, 0)$ .

Возрастание в области $(- 4, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{(1) ((1) + 4)}{{((1) - 2)}^{4}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $1 + 4$ на $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(1 - 2)}^{4}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{{(- 1)}^{4}}$

Этап 9.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f' (1) = - \frac{1 + 4}{1}$

Этап 9.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Добавим $1$ и $4$ .

$f' (1) = - \frac{5}{1}$

Этап 9.2.3.2

Разделим $5$ на $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 5$

Этап 9.2.3.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (1) = - 5$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 9.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 5$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 2)$ .

Убывание на $(0, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{(3) ((3) + 4)}{{((3) - 2)}^{4}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $3$ и $4$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{{(3 - 2)}^{4}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вычтем $2$ из $3$ .

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1^{4}}$

Этап 10.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f' (3) = - \frac{3 \cdot 7}{1}$

Этап 10.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $3$ на $7$ .

$f' (3) = - \frac{21}{1}$

Этап 10.2.3.2

Разделим $21$ на $1$ .

$f' (3) = - 1 \cdot 21$

Этап 10.2.3.3

Умножим $- 1$ на $21$ .

$f' (3) = - 21$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $- 21$ .

$- 21$

Этап 10.3

При $x = 3$ производная имеет вид $- 21$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Убывание на $(2, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 4, 0)$

Убывание на: $(- \infty, - 4), (0, 2), (2, \infty)$

Этап 12