Математический анализ Примеры

$2 x - 2 \cos (x)$

Этап 1

Запишем $2 x - 2 \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $2 x - 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 - 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 - 2 (- \sin (x))$

Этап 2.1.3.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 + 2 \sin (x)$ .

$2 + 2 \sin (x)$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 + 2 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 + 2 \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$2 \sin (x) = - 2$

Этап 3.3

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 2$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $2 \sin (x) = - 2$ на $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 2}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $- 2$ на $2$ .

$\sin (x) = - 1$

Этап 3.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 3.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 3.6

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 3.7

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 3.7.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.9

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{2}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Этап 3.9.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.9.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 3.9.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.10

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.11

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 2 + 2 \sin (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 2 x - 2 \cos (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ .

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 6.4

При $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n - 1$ производная имеет вид $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ .

$f' (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1) = 2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 7.3

Упростим.

$2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 7.4

При $x = \frac{3 π}{2} + 2 π n + 1$ производная имеет вид $2 + 2 \sin (\frac{3 π}{2} + 2 π n + 1)$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(\frac{3 π}{2} + 2 π n, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, \frac{3 π}{2} + 2 π n)$

Этап 9