Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 1$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $2 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin^{3} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x) + 0$

Этап 1.1.1.4.2

Добавим $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ и $0$ .

$f' (x) = 6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $6 \sin^{2} (x) \cos (x) + 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sin^{2} (x) \cos (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin^{2} (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 (\sin^{2} (x) (- \sin (x)) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.6

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.6.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$6 (\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.6.2

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.6.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$6 (\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 ({\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$6 (\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.7

Перенесем $- 1$ влево от $\sin^{3} (x)$ .

$6 (- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.8

Перепишем $- 1 \sin^{3} (x)$ в виде $- \sin^{3} (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x))$

Этап 1.1.2.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$6 (- \sin^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (- \sin^{3} (x)) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 6 (2 \sin (x) \cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.2.4.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$- 6 \sin^{3} (x) + 12 \sin (x) \cos^{2} (x) - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $12 \cos^{2} (x) \sin (x) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $12 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) - 6 \sin^{3} (x) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 6 \sin^{3} (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 3 \sin (x) = 0$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $- 3 \sin (x)$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.2.4

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 1.2.2.5

Вынесем множитель $3 \sin (x)$ из $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x)) + 3 \sin (x) \cdot - 1$ .

$3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 1.2.4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 1.2.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 1.2.4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 1.2.4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 1.2.4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.5

Приравняем $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2

Решим $4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Заменим $4 \cos^{2} (x)$ на $4 (1 - \sin^{2} (x))$ на основе тождества $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 1.2.5.2.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.3.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 1.2.5.2.3.2

Вычтем $2 \sin^{2} (x)$ из $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \sin^{2} (x) + 3 = 0$

Этап 1.2.5.2.4

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- 6 \sin^{2} (x) = - 3$

Этап 1.2.5.2.5

Разделим каждый член $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.1

Разделим каждый член $- 6 \sin^{2} (x) = - 3$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Этап 1.2.5.2.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 \sin^{2} (x)}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}$

Этап 1.2.5.2.5.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 6}$

Этап 1.2.5.2.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.3.1

Сократим общий множитель $- 3$ и $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 (1)}{- 6}$

Этап 1.2.5.2.5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.5.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 6$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 \cdot 2}$

Этап 1.2.5.2.5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Этап 1.2.5.2.6

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 1.2.5.2.7

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.7.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.5.2.7.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.5.2.7.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 1.2.5.2.7.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.7.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.7.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.7.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 1.2.5.2.7.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.8

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.8.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.8.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.9

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 1.2.5.2.10

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.10.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 1.2.5.2.10.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.10.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.10.3

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.10.4

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.10.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.10.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.10.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.10.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 1.2.5.2.10.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.10.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 1.2.5.2.10.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 1.2.5.2.10.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.10.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2.10.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.2.10.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.2.10.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.5.2.10.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.5.2.11

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 1.2.5.2.11.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 1.2.5.2.11.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 1.2.5.2.11.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.2.5.2.11.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.2.5.2.11.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.2.5.2.11.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.2.5.2.11.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 1.2.5.2.11.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.11.6.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.6.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 1.2.5.2.11.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.5.2.12

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.5.2.13

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 \sin (x) (4 \cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 1.2.7

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 12 \cos^{2} (0) \sin (0) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f'' (0) = 12 \cdot (1^{2} \sin (0)) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (0) = 12 \cdot (1 \sin (0)) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f'' (0) = 12 \sin (0) - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.4

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.5

Умножим $12$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \sin^{3} (0) - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.6

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 0^{3} - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 0 - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.8

Умножим $- 6$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 3 \sin (0)$

Этап 4.2.1.9

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 - 3 \cdot 0$

Этап 4.2.1.10

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 4.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = 0$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.3

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5