Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} x \tan (\frac{1}{x})$

Этап 1

Перепишем $x \tan (\frac{1}{x})$ в виде $\frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} \tan (\frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\tan (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.2.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 2.1.3

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{1}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.3

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x}) (- \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.2

Объединим $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\sec^{2} (\frac{1}{x})}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Выразим $\sec (\frac{1}{x})$ через синусы и косинусы.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{{(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} \frac{- (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})} \cdot \frac{1}{x^{2}})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.5

Объединим.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.6

Умножим $1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.5.7

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x}) x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 2.3.6

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- x^{- 2}}$

Этап 2.3.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} (- x^{2})$

Этап 2.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Этап 2.5.2

Умножим $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})} x^{2}$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$ и $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{x^{2} \cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Этап 2.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$

Этап 2.8

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{1}{x})}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} {(\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})})}^{2}$

Этап 2.9

Переведем $\frac{1}{\cos (\frac{1}{x})}$ в $\sec (\frac{1}{x})$ .

$lim_{x \to \infty} \sec^{2} (\frac{1}{x})$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (\frac{1}{x})$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{x \to \infty} \sec (\frac{1}{x}))}^{2}$

Этап 3.2

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\sec^{2} (lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})$

Этап 4

$\sec^{2} (0)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$1^{2}$

Этап 5.2

Единица в любой степени равна единице.

$1$