Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

Этап 1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 3 x^{2} - 7 x}$

Этап 1.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{3 x^{2} - 7 x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 7 x]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x + \frac{d}{d x} [- 7 x]}$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7 \cdot 1}$

Этап 3.5.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{6 x - 7}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x^{1}}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.1.2.3

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (4 x^{2})}{x \cdot 1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.1.2.4

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{2}}{1}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.1.2.5

Разделим $4 x^{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{\frac{6 x}{x} + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $6$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 + \frac{- 7}{x}}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - \frac{7}{x}}$

Этап 6

Когда $x$ стремится к $\infty$ , дробь $\frac{7}{x}$ стремится к $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{2}}{6 - 0}$

Этап 7

Так как числитель не ограничен, когда знаменатель стремится к постоянному числу, дробь $\frac{4 x^{2}}{6 - 0}$ стремится к бесконечности.

$\infty$