Математический анализ Примеры

$\frac{9 x^{2} + 4}{9 x^{2} - 4}$

Этап 1

Запишем $\frac{9 x^{2} + 4}{9 x^{2} - 4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{9 x^{2} + 4}{9 x^{2} - 4}$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 9 x^{2} + 4$ и $g (x) = 9 x^{2} - 4$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4] - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x + \frac{d}{d x} [4]) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$\frac{(9 x^{2} - 4) (18 x) - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Перенесем $18$ влево от $9 x^{2} - 4$ .

$\frac{18 \cdot (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 4]}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.7

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.8

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.10

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.11

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x + 0)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.12.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - (9 x^{2} + 4) (18 x)}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.2.12.2

Умножим $18$ на $- 1$ .

$\frac{18 (9 x^{2} - 4) x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(18 (9 x^{2}) + 18 \cdot - 4) x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2} + 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x + (- 18 (9 x^{2}) - 18 \cdot 4) x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 (9 x^{2}) x + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{18 (9 (x \cdot x^{2})) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{18 (9 (x^{1} x^{2})) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18 (9 x^{1 + 2}) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{18 (9 x^{3}) + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.2

Умножим $9$ на $18$ .

$\frac{162 x^{3} + 18 \cdot - 4 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.3

Умножим $18$ на $- 4$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{2}) x - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 (x \cdot x^{2})) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 (x^{1} x^{2})) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{1 + 2}) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 18 (9 x^{3}) - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.5

Умножим $9$ на $- 18$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 18 \cdot 4 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.1.6

Умножим $- 18$ на $4$ .

$\frac{162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2

Объединим противоположные члены в $162 x^{3} - 72 x - 162 x^{3} - 72 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.2.1

Вычтем $162 x^{3}$ из $162 x^{3}$ .

$\frac{- 72 x + 0 - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.2.2

Добавим $- 72 x$ и $0$ .

$\frac{- 72 x - 72 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.5.3

Вычтем $72 x$ из $- 72 x$ .

$\frac{- 144 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{144 x}{{(9 x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.7.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$- \frac{144 x}{{({(3 x)}^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{144 x}{{({(3 x)}^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3 x$ и $b = 2$ .

$- \frac{144 x}{{((3 x + 2) (3 x - 2))}^{2}}$

Этап 2.1.3.7.4

Применим правило умножения к $(3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$144 x = 0$

Этап 3.3

Разделим каждый член $144 x = 0$ на $144$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $144 x = 0$ на $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $144$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $0$ на $144$ .

$x = 0$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $0$ .

$0$

Этап 5

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Зададим знаменатель в $\frac{144 x}{{(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(3 x + 2)}^{2} = 0$

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Приравняем ${(3 x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Приравняем ${(3 x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(3 x + 2)}^{2} = 0$

Этап 5.2.2.2

Решим ${(3 x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 5.2.2.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 5.2.2.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.2.2.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.2.2.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.2.2.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 5.2.3

Приравняем ${(3 x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Приравняем ${(3 x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Этап 5.2.3.2

Решим ${(3 x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 5.2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 5.2.3.2.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.3.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.3.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 5.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(3 x + 2)}^{2} {(3 x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Этап 5.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - \frac{2}{3}, x = \frac{2}{3}$

Этап 6

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{2}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{144 (- 1.6666667)}{{(3 (- 1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $144$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(3 (- 1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $3$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 5.0000001 + 2)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 5.0000001$ и $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(3 (- 1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Умножим $3$ на $- 1.6666667$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(- 5.0000001 - 2)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Вычтем $2$ из $- 5.0000001$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{{(- 3.0000001)}^{2} {(- 7.0000001)}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Возведем $- 3.0000001$ в степень $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{9.0000006 {(- 7.0000001)}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Возведем $- 7.0000001$ в степень $2$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{9.0000006 \cdot 49.0000014}$

Этап 7.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $9.0000006$ на $49.0000014$ .

$f' (- 1.6666667) = - \frac{- 240.0000048}{441.000042}$

Этап 7.2.3.2

Разделим $- 240.0000048$ на $441.000042$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.54421764$

Этап 7.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 0.54421764$ .

$f' (- 1.6666667) = 0.54421764$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $0.54421764$ .

$0.54421764$

Этап 7.3

При $x = - 1.6666667$ производная имеет вид $0.54421764$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, - \frac{2}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{2}{3})$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(- 0.6666667, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{144 (- 0.\overline{3})}{{(3 (- 0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $144$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{(3 (- 0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Умножим $3$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{(- 1.00000005 + 2)}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $- 1.00000005$ и $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(3 (- 0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Умножим $3$ на $- 0.\overline{3}$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(- 1.00000005 - 2)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Вычтем $2$ из $- 1.00000005$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{{0.\overline{9}}^{2} {(- 3.00000005)}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Возведем $0.\overline{9}$ в степень $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{0.9999999 {(- 3.00000005)}^{2}}$

Этап 8.2.2.6

Возведем $- 3.00000005$ в степень $2$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{0.9999999 \cdot 9.0000003}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $0.9999999$ на $9.0000003$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = - \frac{- 48.0000024}{8.9999994}$

Этап 8.2.3.2

Разделим $- 48.0000024$ на $8.9999994$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 5.33333395$

Этап 8.2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 5.33333395$ .

$f' (- 0.\overline{3}) = 5.33333395$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $5.33333395$ .

$5.33333395$

Этап 8.3

При $x = - 0.\overline{3}$ производная имеет вид $5.33333395$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 0.6666667, 0)$ .

Возрастание в области $(- \frac{2}{3}, 0)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(0, \frac{2}{3})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{144 (0.\overline{3})}{{(3 (0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $144$ на $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{(3 (0.\overline{3}) + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Умножим $3$ на $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{(1.00000005 + 2)}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $1.00000005$ и $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(3 (0.\overline{3}) - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2.3

Умножим $3$ на $0.\overline{3}$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(1.00000005 - 2)}^{2}}$

Этап 9.2.2.4

Вычтем $2$ из $1.00000005$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{{3.00000005}^{2} {(- 0.\overline{9})}^{2}}$

Этап 9.2.2.5

Возведем $3.00000005$ в степень $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{9.0000003 {(- 0.\overline{9})}^{2}}$

Этап 9.2.2.6

Возведем $- 0.\overline{9}$ в степень $2$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{9.0000003 \cdot 0.9999999}$

Этап 9.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Умножим $9.0000003$ на $0.9999999$ .

$f' (0.\overline{3}) = - \frac{48.0000024}{8.9999994}$

Этап 9.2.3.2

Разделим $48.0000024$ на $8.9999994$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 1 \cdot 5.33333395$

Этап 9.2.3.3

Умножим $- 1$ на $5.33333395$ .

$f' (0.\overline{3}) = - 5.33333395$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $- 5.33333395$ .

$- 5.33333395$

Этап 9.3

При $x = 0.\overline{3}$ производная имеет вид $- 5.33333395$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, \frac{2}{3})$ .

Убывание на $(0, \frac{2}{3})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 10

Подставим значение из интервала $(\frac{2}{3}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{144 (1.6666667)}{{(3 (1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $144$ на $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{(3 (1.6666667) + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Умножим $3$ на $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{(5.0000001 + 2)}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $5.0000001$ и $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} {(3 (1.6666667) - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.2.3

Умножим $3$ на $1.6666667$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} {(5.0000001 - 2)}^{2}}$

Этап 10.2.2.4

Вычтем $2$ из $5.0000001$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{{7.0000001}^{2} \cdot {3.0000001}^{2}}$

Этап 10.2.2.5

Возведем $7.0000001$ в степень $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{49.0000014 \cdot {3.0000001}^{2}}$

Этап 10.2.2.6

Возведем $3.0000001$ в степень $2$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{49.0000014 \cdot 9.0000006}$

Этап 10.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $49.0000014$ на $9.0000006$ .

$f' (1.6666667) = - \frac{240.0000048}{441.000042}$

Этап 10.2.3.2

Разделим $240.0000048$ на $441.000042$ .

$f' (1.6666667) = - 1 \cdot 0.54421764$

Этап 10.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0.54421764$ .

$f' (1.6666667) = - 0.54421764$

Этап 10.2.4

Окончательный ответ: $- 0.54421764$ .

$- 0.54421764$

Этап 10.3

При $x = 1.6666667$ производная имеет вид $- 0.54421764$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{2}{3}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 11

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, - \frac{2}{3}), (- \frac{2}{3}, 0)$

Убывание на: $(0, \frac{2}{3}), (\frac{2}{3}, \infty)$

Этап 12