Математический анализ Примеры

$y = 8 \csc (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \csc (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 1.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 1.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 (\csc (x) \cot (x))$

Этап 1.3.2

Изменим порядок множителей в $- 8 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 8 \cot (x) \csc (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 \cot (x) \csc (x)$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

$- 8 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 2.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 8 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 2.4

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 2.5

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$- 8 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 2.8

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Этап 2.9

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Этап 2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Этап 2.11

Добавим $1$ и $2$ .

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 8 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Этап 2.12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 8 (- \csc^{3} (x))$

Этап 2.12.2.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$8 \csc (x) \cot^{2} (x) + 8 \csc^{3} (x)$

Этап 2.12.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 8 \cot^{2} (x) \csc (x) + 8 \csc^{3} (x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $8 \cot^{2} (x) \csc (x) + 8 \csc^{3} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cot^{2} (x) \csc (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.2

$8 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.5

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$8 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.6

Умножим $\cot^{2} (x)$ на $\cot (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Перенесем $\cot (x)$ .

$8 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.6.2

Умножим $\cot (x)$ на $\cot^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.2.1

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$8 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.7

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.8

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.2.10

Добавим $1$ и $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \csc^{3} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \csc^{3} (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\csc (x)$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\csc (x)$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.3.3

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.3.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.3.5

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) \cot (x))$

Этап 3.3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x))$

Этап 3.3.7

Добавим $1$ и $2$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 8 (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Этап 3.3.8

Умножим $- 3$ на $8$ .

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (\cot^{3} (x) (- \csc (x))) + 8 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8 (\cot^{3} (x) (\csc (x))) + 8 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- 8 \cot^{3} (x) \csc (x) - 16 (\cot (x) \csc^{3} (x)) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Этап 3.4.2.3

Изменим порядок множителей в $- 16 \cot (x) \csc^{3} (x)$ .

$- 8 \cot^{3} (x) \csc (x) - 16 \csc^{3} (x) \cot (x) - 24 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Этап 3.4.2.4

Вычтем $24 \csc^{3} (x) \cot (x)$ из $- 16 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = - 8 \cot^{3} (x) \csc (x) - 40 \csc^{3} (x) \cot (x)$