Математический анализ Примеры

$y^{2} = 2 x$ , $x = 2 y$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим все вхождения $x$ на $2 y$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Заменим все вхождения $x$ в $y^{2} = 2 x$ на $2 y$ .

$y^{2} = 2 (2 y)$

$x = 2 y$

Этап 1.1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

$y^{2} = 4 y$

$x = 2 y$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ в $y^{2} = 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y \cdot y - 4 y = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- 4 y$ .

$y \cdot y + y \cdot - 4 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot - 4$ .

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

$y (y - 4) = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.4

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.5

Приравняем $y - 4$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Приравняем $y - 4$ к $0$ .

$y - 4 = 0$

$x = 2 y$

Этап 1.2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$y = 4$

$x = 2 y$

$y = 4$

$x = 2 y$

Этап 1.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $y (y - 4) = 0$ верно.

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

$y = 0, 4$

$x = 2 y$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $y$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 2 y$ на $0$ .

$x = 2 (0)$

$y = 0$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $y$ на $4$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Заменим все вхождения $y$ в $x = 2 y$ на $4$ .

$x = 2 (4)$

$y = 4$

Этап 1.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

$x = 8$

$y = 4$

Этап 1.5

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(0, 0)$

$(8, 4)$

$(0, 0)$

$(8, 4)$

Этап 2

Решим $y^{2} = 2 x$ , выразив через $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 x = y^{2}$ .

$2 x = y^{2}$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 x = y^{2}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 x = y^{2}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2}$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{4} 2 y d y - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{4} 2 y - (\frac{y^{2}}{2}) d y$

Этап 4.2

Умножим $- 1$ на $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\int_{0}^{4} 2 y - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{4} 2 y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 4.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{4} y d y + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 4.7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} \frac{y^{2}}{2} d y$

Этап 4.8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4} y^{2} d y)$

Этап 4.9

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Этап 4.10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Найдем значение $\frac{y^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{4}$

Этап 4.10.2

Найдем значение $\frac{1}{3} y^{3}$ в $4$ и в $0$ .

$2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$2 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$2 (8 - \frac{0^{2}}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 (8 - \frac{0}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 (8 - \frac{2 (0)}{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (8 - \frac{0}{1}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (8 - 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (8 + 0) - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.6

Добавим $8$ и $0$ .

$2 \cdot 8 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.7

Умножим $2$ на $8$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.8

Возведем $4$ в степень $3$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $64$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Этап 4.10.3.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Этап 4.10.3.11

Умножим $0$ на $- 1$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Этап 4.10.3.12

Умножим $0$ на $\frac{1}{3}$ .

$16 - \frac{1}{2} (\frac{64}{3} + 0)$

Этап 4.10.3.13

Добавим $\frac{64}{3}$ и $0$ .

$16 - \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3}$

Этап 4.10.3.14

Умножим $\frac{64}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$16 - \frac{64}{3 \cdot 2}$

Этап 4.10.3.15

Умножим $3$ на $2$ .

$16 - \frac{64}{6}$

Этап 4.10.3.16

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.16.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$16 - \frac{2 (32)}{6}$

Этап 4.10.3.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.16.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Этап 4.10.3.16.2.2

Сократим общий множитель.

$16 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Этап 4.10.3.16.2.3

Перепишем это выражение.

$16 - \frac{32}{3}$

Этап 4.10.3.17

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$16 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Этап 4.10.3.18

Объединим $16$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Этап 4.10.3.19

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 \cdot 3 - 32}{3}$

Этап 4.10.3.20

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.20.1

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{48 - 32}{3}$

Этап 4.10.3.20.2

Вычтем $32$ из $48$ .

$\frac{16}{3}$

Этап 5