Математический анализ Примеры

$- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} e^{x} + 5 x e^{x} - 10 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2} e^{x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [5 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x e^{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.3.2

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.3.3

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 e^{x}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.4.2

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x} + e^{x}) - 10 e^{x}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Этап 1.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) + 5 (x e^{x}) + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Этап 1.5.3.2

Добавим $- 8 e^{x} x$ и $5 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 5 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Этап 1.5.3.2.2

Добавим $- 8 x e^{x}$ и $5 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} + 5 e^{x} - 10 e^{x}$

Этап 1.5.3.3

Вычтем $10 e^{x}$ из $5 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Этап 1.5.4

Изменим порядок членов.

$- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$

Этап 1.5.5

Изменим порядок множителей в $- 4 e^{x} x^{2} - 3 e^{x} x - 5 e^{x}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 5 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2} e^{x}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.2.2

$- 4 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.2.3

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x e^{x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.3.2

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.3.3

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 e^{x}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.4.2

$- 4 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x} + e^{x}) - 5 e^{x}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x^{2} e^{x}) - 4 (e^{x} (2 x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Этап 2.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 (e^{x} (x)) - 3 (x e^{x}) - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Этап 2.5.3.2

Вычтем $3 x e^{x}$ из $- 8 e^{x} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} - 3 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Этап 2.5.3.2.2

Вычтем $3 x e^{x}$ из $- 8 x e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 3 e^{x} - 5 e^{x}$

Этап 2.5.3.3

Вычтем $5 e^{x}$ из $- 3 e^{x}$ .

$- 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$

Этап 2.5.4

Изменим порядок членов.

$- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$

Этап 2.5.5

Изменим порядок множителей в $- 4 e^{x} x^{2} - 11 e^{x} x - 8 e^{x}$ .

$f'' (x) = - 4 x^{2} e^{x} - 11 x e^{x} - 8 e^{x}$