Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x + 7 \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $7 x + 7 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \cos (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$7 + 7 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$7 + 7 (- \sin (x))$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $7$ .

$f' (x) = 7 - 7 \sin (x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 - 7 \sin (x)$ .

$7 - 7 \sin (x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 - 7 \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 - 7 \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 7 \sin (x) = - 7$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 7 \sin (x) = - 7$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 7 \sin (x) = - 7$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 \sin (x)}{- 7} = \frac{- 7}{- 7}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 \sin (x)}{- 7} = \frac{- 7}{- 7}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 7}{- 7}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $- 7$ на $- 7$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 2.7

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 2.7.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 2.8

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.8.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.9

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π}{2} + 2 π n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π n$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 7 - 7 \sin (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 7 x + 7 \cos (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n) \cup (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + 2 π n - 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n - 1) = 7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.2

Окончательный ответ: $7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ .

$7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.3

Упростим.

$7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$

Этап 5.4

При $x = \frac{π}{2} + 2 π n - 1$ производная имеет вид $7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2} + 2 π n + 1$ .

$f' (\frac{π}{2} + 2 π n + 1) = 7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ .

$7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$

Этап 6.4

При $x = \frac{π}{2} + 2 π n + 1$ производная имеет вид $7 - 7 \sin (\frac{π}{2} + 2 π n + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{π}{2} + 2 π n), (\frac{π}{2} + 2 π n, \infty)$

Этап 8