Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3}}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

Этап 1.2

Поскольку показатель степени $5 x - 3$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x - 3}$ стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x - 2)}$

Этап 1.3

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3}}{\ln (x - 2)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{5 x - 3}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $5 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} (5 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.8

Добавим $5$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{5 x - 3} \cdot 5}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.9

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x - 3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 \cdot e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.10

Умножим $5$ на $e^{5 x - 3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 2)]}$

Этап 3.11

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.11.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.11.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 3.12

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Этап 3.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Этап 3.14

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} (1 + 0)}$

Этап 3.15

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2} \cdot 1}$

Этап 3.16

Умножим $\frac{1}{x - 2}$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{5 x - 3}}{\frac{1}{x - 2}}$

Этап 4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to \infty} 5 e^{5 x - 3} (x - 2)$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Этап 5.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$5 \cdot lim_{x \to \infty} e^{5 x - 3} \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Этап 6

Поскольку показатель степени $5 x - 3$ стремится к $\infty$ , величина $e^{5 x - 3}$ стремится к $\infty$ .

$5 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x - 2$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$5 \cdot \infty \cdot \infty$

Этап 7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Произведение ненулевой константы на бесконечность равно бесконечности.

$\infty \cdot \infty$

Этап 7.2.2

Произведение бесконечностей бесконечно.

$\infty$