Математический анализ Примеры

$\frac{c x - d}{a x - b}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ имеет вид $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , где $f (c) = c x - d$ и $g (c) = a x - b$ .

$\frac{(a x - b) \frac{d}{d c} [c x - d] - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $c x - d$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [- d]$ .

$\frac{(a x - b) (\frac{d}{d c} [c x] + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d c} [c x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $c$ , производная $c x$ по $c$ равна $x \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(a x - b) (x \frac{d}{d c} [c] + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) (x \cdot 1 + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{(a x - b) (x + \frac{d}{d c} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- d$ является константой относительно $c$ , производная $- d$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(a x - b) (x + 0) - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) \frac{d}{d c} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $a x - b$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [- b]$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) (\frac{d}{d c} [a x] + \frac{d}{d c} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $a x$ является константой относительно $c$ , производная $a x$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) (0 + \frac{d}{d c} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $- b$ является константой относительно $c$ , производная $- b$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) (0 + 0)}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 4.6

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{(a x - b) x - (c x - d) \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot x - b x - (c x - d) \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot x - b x + (- (c x) - - d) \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot x - b x - (c x) \cdot 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{a (x \cdot x) - b x - (c x) \cdot 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{a x^{2} - b x - (c x) \cdot 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- c x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 c x - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $0$ на $c$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 x - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2.3

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 - - d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $- - d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 + 1 d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3.2

Умножим $d$ на $1$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 + d \cdot 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $d$ на $0$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0 + 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Объединим противоположные члены в $a x^{2} - b x + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $a x^{2} - b x$ и $0$ .

$\frac{a x^{2} - b x + 0}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Добавим $a x^{2} - b x$ и $0$ .

$\frac{a x^{2} - b x}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} a - b x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} a - b x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} a$ .

$\frac{x (x a) - b x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $x$ из $- b x$ .

$\frac{x (x a) + x (- b)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x a) + x (- b)$ .

$\frac{x (x a - b)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $x a - b$ и ${(- b + a x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{x (- b + a x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.7.2

Вынесем множитель $- b + a x$ из $x (- b + a x)$ .

$\frac{(- b + a x) x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.7.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.3.1

Вынесем множитель $- b + a x$ из ${(- b + a x)}^{2}$ .

$\frac{(- b + a x) x}{(- b + a x) (- b + a x)}$

Этап 5.7.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(- b + a x) x}{(- b + a x) (- b + a x)}$

Этап 5.7.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{- b + a x}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- b$ .

$\frac{x}{- (b) + a x}$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $a x$ .

$\frac{x}{- (b) - (- a x)}$

Этап 5.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (b) - (- a x)$ .

$\frac{x}{- (b - a x)}$

Этап 5.11

Перепишем $- (b - a x)$ в виде $- 1 (b - a x)$ .

$\frac{x}{- 1 (b - a x)}$

Этап 5.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{b - a x}$