Математический анализ Примеры

$\frac{c x - d}{a x - b}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ имеет вид $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ , где $f (b) = c x - d$ и $g (b) = a x - b$ .

$\frac{(a x - b) \frac{d}{d b} [c x - d] - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $c x - d$ по $b$ имеет вид $\frac{d}{d b} [c x] + \frac{d}{d b} [- d]$ .

$\frac{(a x - b) (\frac{d}{d b} [c x] + \frac{d}{d b} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $c x$ является константой относительно $b$ , производная $c x$ относительно $b$ равна $0$ .

$\frac{(a x - b) (0 + \frac{d}{d b} [- d]) - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- d$ является константой относительно $b$ , производная $- d$ относительно $b$ равна $0$ .

$\frac{(a x - b) (0 + 0) - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) \frac{d}{d b} [a x - b]}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $a x - b$ по $b$ имеет вид $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $a x$ является константой относительно $b$ , производная $a x$ относительно $b$ равна $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 + \frac{d}{d b} [- b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d b} [- b]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $b$ , производная $- b$ по $b$ равна $- \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 - \frac{d}{d b} [b])}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ имеет вид $n b^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 - 1 \cdot 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) (0 - 1)}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 4

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{(a x - b) \cdot 0 - (c x - d) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot 0 - b \cdot 0 - (c x - d) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot 0 - b \cdot 0 + (- (c x) - - d) \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot 0 - b \cdot 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $a x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1.1

Умножим $0$ на $a$ .

$\frac{0 x - b \cdot 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.1.2

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{0 - b \cdot 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $- b \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{0 + 0 b - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $0$ на $b$ .

$\frac{0 + 0 - (c x) \cdot - 1 - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $- c x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0 + 0 + 1 c x - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3.2

Умножим $c$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 + c x - - d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $- - d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{0 + 0 + c x + 1 d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.4.2

Умножим $d$ на $1$ .

$\frac{0 + 0 + c x + d \cdot - 1}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $d$ .

$\frac{0 + 0 + c x - 1 \cdot d}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.1.6

Перепишем $- 1 d$ в виде $- d$ .

$\frac{0 + 0 + c x - d}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + c x - d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0 + c x - d}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Добавим $0$ и $c x$ .

$\frac{c x - d}{{(a x - b)}^{2}}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- d + c x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- d$ .

$\frac{- (d) + c x}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $c x$ .

$\frac{- (d) - (- c x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (d) - (- c x)$ .

$\frac{- (d - c x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.9

Перепишем $- (d - c x)$ в виде $- 1 (d - c x)$ .

$\frac{- 1 (d - c x)}{{(- b + a x)}^{2}}$

Этап 5.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{d - c x}{{(- b + a x)}^{2}}$