Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} {(14 + x)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(14 + x)}^{2}$ в виде $(14 + x) (14 + x)$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} ((14 + x) (14 + x))]$

Этап 1.1.2

Развернем $(14 + x) (14 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 (14 + x) + x (14 + x))]$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x (14 + x))]$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (14 \cdot 14 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $14$ на $14$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + x \cdot 14 + x \cdot x)]$

Этап 1.1.3.1.2

Перенесем $14$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 \cdot x + x \cdot x)]$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 14 x + 14 x + x^{2})]$

Этап 1.1.3.2

Добавим $14 x$ и $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Этап 1.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2} (196 + 28 x + x^{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} (196 + 28 x + x^{2})]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [196 + 28 x + x^{2}] + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

По правилу суммы производная $196 + 28 x + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [196] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6.2

Поскольку $196$ является константой относительно $x$ , производная $196$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [28 x]$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6.4

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28 x$ по $x$ равна $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x^{2} (28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6.6

Умножим $28$ на $1$ .

$2 (x^{2} (28 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.1.6.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + (196 + 28 x + x^{2}) (2 x))$

Этап 1.1.6.9

Перенесем $2$ влево от $196 + 28 x + x^{2}$ .

$2 (x^{2} (28 + 2 x) + 2 \cdot (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Этап 1.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 (196 + 28 x + x^{2}) x)$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + (2 \cdot 196 + 2 (28 x) + 2 x^{2}) x)$

Этап 1.1.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} \cdot 28 + x^{2} (2 x) + 2 \cdot 196 x + 2 (28 x) x + 2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} \cdot 28) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.1

Перенесем $28$ влево от $x^{2}$ .

$2 (28 \cdot x^{2}) + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.2

Умножим $28$ на $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{2} (2 x)) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.3.1

Перенесем $x$ .

$56 x^{2} + 2 (x \cdot x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.5.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{1} x^{2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$56 x^{2} + 2 (x^{1 + 2} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$56 x^{2} + 2 (x^{3} \cdot 2) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.4

Перенесем $2$ влево от $x^{3}$ .

$56 x^{2} + 2 (2 \cdot x^{3}) + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.5

Умножим $2$ на $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (2 \cdot 196 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.6

Умножим $2$ на $196$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 2 (392 x) + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.7

Умножим $392$ на $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (2 (28 x) x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.8

Умножим $28$ на $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x \cdot x) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x)) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 (x^{1} x^{1})) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{1 + 1}) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.12

Добавим $1$ и $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 2 (56 x^{2}) + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.13

Умножим $56$ на $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{2} x)$

Этап 1.1.7.5.14

Возведем $x$ в степень $1$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 (x^{1} x^{2}))$

Этап 1.1.7.5.15

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{1 + 2})$

Этап 1.1.7.5.16

Добавим $1$ и $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 2 (2 x^{3})$

Этап 1.1.7.5.17

Умножим $2$ на $2$ .

$56 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 112 x^{2} + 4 x^{3}$

Этап 1.1.7.5.18

Добавим $56 x^{2}$ и $112 x^{2}$ .

$168 x^{2} + 4 x^{3} + 784 x + 4 x^{3}$

Этап 1.1.7.5.19

Добавим $4 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$168 x^{2} + 8 x^{3} + 784 x$

Этап 1.1.7.6

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{3} + 168 x^{2} + 784 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{3}$ .

$8 x (x^{2}) + 168 x^{2} + 784 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $8 x$ из $168 x^{2}$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 784 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $8 x$ из $784 x$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (21 x) + 8 x (98) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{2}) + 8 x (21 x)$ .

$8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{2} + 21 x) + 8 x (98)$ .

$8 x (x^{2} + 21 x + 98) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} + 21 x + 98$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $98$ , а сумма — $21$ .

$7, 14$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$8 x ((x + 7) (x + 14)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$8 x (x + 7) (x + 14) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 7 = 0$

$x + 14 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 2.6

Приравняем $x + 14$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 14$ к $0$ .

$x + 14 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $14$ из обеих частей уравнения.

$x = - 14$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $8 x (x + 7) (x + 14) = 0$ верно.

$x = 0, - 7, - 14$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $0, - 7, - 14$ .

$0, - 7, - 14$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 14) \cup (- 14, - 7) \cup (- 7, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 14)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 15$ .

$f' (- 15) = 8 {(- 15)}^{3} + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 15$ в степень $3$ .

$f' (- 15) = 8 \cdot - 3375 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $8$ на $- 3375$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 {(- 15)}^{2} + 784 (- 15)$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 15$ в степень $2$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 168 \cdot 225 + 784 (- 15)$

Этап 5.2.1.4

Умножим $168$ на $225$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 + 784 (- 15)$

Этап 5.2.1.5

Умножим $784$ на $- 15$ .

$f' (- 15) = - 27000 + 37800 - 11760$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 27000$ и $37800$ .

$f' (- 15) = 10800 - 11760$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $11760$ из $10800$ .

$f' (- 15) = - 960$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 960$ .

$- 960$

Этап 5.3

При $x = - 15$ производная имеет вид $- 960$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 14)$ .

Убывание на $(- \infty, - 14)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 14, - 7)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 {(- \frac{21}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{21}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{21^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{21^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.3

Возведем $21$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (- \frac{9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9261}{8}$ в числитель.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{21}{2}) = 8 (\frac{- 9261}{8}) + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 {(- \frac{21}{2})}^{2} + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{21}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{21}{2}$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (1 (\frac{21^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.8

Умножим $\frac{21^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{21^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.9

Возведем $21$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{2^{2}}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 168 (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $168$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 (42) (\frac{441}{4}) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.11.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 4 \cdot (42 (\frac{441}{4})) + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.11.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 42 \cdot 441 + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.12

Умножим $42$ на $441$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (- \frac{21}{2})$

Этап 6.2.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{21}{2}$ в числитель.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 784 (\frac{- 21}{2})$

Этап 6.2.1.13.2

Вынесем множитель $2$ из $784$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 (392) (\frac{- 21}{2})$

Этап 6.2.1.13.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 2 \cdot (392 (\frac{- 21}{2}))$

Этап 6.2.1.13.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 + 392 \cdot - 21$

Этап 6.2.1.14

Умножим $392$ на $- 21$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = - 9261 + 18522 - 8232$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 9261$ и $18522$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 9261 - 8232$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $8232$ из $9261$ .

$f' (- \frac{21}{2}) = 1029$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $1029$ .

$1029$

Этап 6.3

При $x = - \frac{21}{2}$ производная имеет вид $1029$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 14, - 7)$ .

Возрастание в области $(- 14, - 7)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 7, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 {(- \frac{7}{2})}^{3} + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 ({(- 1)}^{3} (\frac{7^{3}}{2^{3}})) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.3

Возведем $7$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{2^{3}}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (- \frac{343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{343}{8}$ в числитель.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{7}{2}) = 8 (\frac{- 343}{8}) + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 {(- \frac{7}{2})}^{2} + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{7}{2}$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.8

Умножим $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.9

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{2^{2}}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.10

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 168 (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.11

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $168$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 (42) (\frac{49}{4}) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.11.2

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 4 \cdot (42 (\frac{49}{4})) + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.11.3

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 42 \cdot 49 + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.12

Умножим $42$ на $49$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (- \frac{7}{2})$

Этап 7.2.1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.13.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{2}$ в числитель.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 784 (\frac{- 7}{2})$

Этап 7.2.1.13.2

Вынесем множитель $2$ из $784$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 (392) (\frac{- 7}{2})$

Этап 7.2.1.13.3

Сократим общий множитель.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 2 \cdot (392 (\frac{- 7}{2}))$

Этап 7.2.1.13.4

Перепишем это выражение.

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 + 392 \cdot - 7$

Этап 7.2.1.14

Умножим $392$ на $- 7$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 343 + 2058 - 2744$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 343$ и $2058$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = 1715 - 2744$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $2744$ из $1715$ .

$f' (- \frac{7}{2}) = - 1029$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 1029$ .

$- 1029$

Этап 7.3

При $x = - \frac{7}{2}$ производная имеет вид $- 1029$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- 7, 0)$ .

Убывание на $(- 7, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Этап 8.2.1.2

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 {(1)}^{2} + 784 (1)$

Этап 8.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 8 + 168 \cdot 1 + 784 (1)$

Этап 8.2.1.4

Умножим $168$ на $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784 (1)$

Этап 8.2.1.5

Умножим $784$ на $1$ .

$f' (1) = 8 + 168 + 784$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $8$ и $168$ .

$f' (1) = 176 + 784$

Этап 8.2.2.2

Добавим $176$ и $784$ .

$f' (1) = 960$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $960$ .

$960$

Этап 8.3

При $x = 1$ производная имеет вид $960$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 14, - 7), (0, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, - 14), (- 7, 0)$

Этап 10