Математический анализ Примеры

$2 \ln (x) - \ln (x + 2) = 0$

Этап 1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$2 \ln (x) - \ln (x + 2) = 0$

Этап 2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $2 \ln (x) - \ln (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (x^{2}) - \ln (x + 2) = 0$

Этап 2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{x + 2}) = 0$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{x^{2}}{x + 2}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ являются положительными вещественными числами и $b$ $\neq$ $1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x^{2}}{x + 2}$

Этап 4

С помощью перекрестного умножения избавимся от дроби.

$x^{2} = e^{0} (x + 2)$

Этап 5

Упростим $e^{0} (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{2} = 1 (x + 2)$

Этап 5.2

Умножим $x + 2$ на $1$ .

$x^{2} = x + 2$

Этап 6

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x = 2$

Этап 7

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 2$

Этап 7.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 2$

Этап 7.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 2$

Этап 8

Упростим $x (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 2$

Этап 8.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 = 2$

Этап 8.1.2.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x = 2$

Этап 8.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$x^{2} - x = 2$

Этап 9

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Этап 10

Разложим $x^{2} - x - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 10.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Этап 11

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 12

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 12.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 13

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 13.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 14

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 2) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 2, - 1$

Этап 15

Исключим решения, которые не делают $2 \ln (x) - \ln (x + 2) = 0$ истинным.

$x = 2$