Математический анализ Примеры

$y = 8 \sec (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sec (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$f' (x) = 8 \sec (x) \tan (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \sec (x) \tan (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$8 (\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$8 (\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.4

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$8 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 ({\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.5

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)))$

Этап 2.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x))$

Этап 2.7

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x))$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$8 (\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x))$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \sec^{3} (x) + 8 (\tan^{2} (x) \sec (x))$

Этап 2.10.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 8 \tan^{2} (x) \sec (x) + 8 \sec^{3} (x)$